Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Liste der Hauptsätze
Es sei eine Gruppe.
Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen die beiden Gleichungen
eindeutige Lösungen .
Die Binomialkoeffizienten
erfüllen die rekursive Beziehung
Es sei ein kommutativer Ring und . Ferner sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Nichtnullteiler.
Dann folgt aus einer Gleichung
dass sein muss.
Die komplexen Zahlen
bilden einen Körper.
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Dann ist ein Polynom vom Grad zwei oder drei genau dann irreduzibel,
wenn es keine Nullstelle in besitzt.
Es sei ein kommutativer Ring.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Körper.
- Es gibt in genau zwei Ideale.
Es sei ein kommutativer Ring und ein maximales Ideal in .
Dann ist ein Primideal.
Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
Ein Polynomring über einem Körper
ist ein Hauptidealbereich.
Es sei ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler , und dieser lässt sich als Linearkombination der darstellen, d.h. es gibt Elemente mit .
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente eine Darstellung der .
Es sei ein Hauptidealbereich und . Es seien und teilerfremd und teile das Produkt . Dann teilt den Faktor .
Es sei ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
Es seien zwei Elemente eines euklidischen Bereiches mit euklidischer Funktion gegeben. Dann besitzt die Folge , , der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.
- Es ist .
- Es gibt ein (minimales) mit .
- Es ist
- Es sei der erste Index derart, dass ist. Dann ist
Es sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist faktoriell.
- Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
- Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
Es sei ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist faktoriell.
- Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
- Jede Nichteinheit besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über .
Dann besitzt jedes Polynom , , eine eindeutige Faktorzerlegung
wobei ist und die verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.
Jede natürliche Zahl , , besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.
D.h. es gibt eine Darstellung
mit Primzahlen , und dabei sind die Primfaktoren bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Es sei ein faktorieller Integritätsbereich und .
Dann ist ein Teiler von genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement die Abschätzung
gelten.
Es sei ein faktorieller Bereich und Elemente mit Primfaktorzerlegungen
Dann ist
und
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist und für jedes .
Es sei eine Gruppe.
Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
Es seien und Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.
Es sei eine endliche Gruppe und eine Untergruppe von .
Dann ist ihre Kardinalität ein Teiler von .
Es sei eine endliche Gruppe und sei ein Element.
Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.
Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es seien und Gruppen, es sei ein Gruppenhomomorphismus und ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und Gruppen und sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Gruppenisomorphismus und die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.
Es sei ein Integritätsbereich.
Dann ist die Charakteristik von null oder eine Primzahl.
Es sei ein kommutativer Ring und sei der Polynomring über . Es sei ein weiterer kommutativer Ring und es sei ein Ringhomomorphismus und ein Element.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit und mit , wobei die kanonische Einbettung ist.
Dabei geht das Polynom auf .
Es seien und kommutative Ringe und sei
ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern
ein Ideal in .
Sei eine natürliche Zahl.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass die Restklassenabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
ist ein kommutativer Ring mit Elementen (bei ).
Es seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Es seien und kommutative Ringe und es sei
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
Es seien und kommutative Ringe und es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Ringisomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildes ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in mit dem Restklassenring . Es sei ein weiteres Ideal in , das umfasst.
Dann ist das Bild von in ein Ideal und es gilt die kanonische Isomorphie
Seien und positive natürliche Zahlen, und teile .
Dann gibt es einen kanonischen Ringhomomorphismus
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .
Dann ist ein Element genau dann eine Einheit modulo , wenn und zusammen das Einheitsideal in erzeugen.
Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Es sei eine natürliche Zahl und der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist ein Körper.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist eine Primzahl.
Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt
Anders ausgedrückt: ist durch teilbar.
Es sei ein Hauptidealbereich und , , ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung
Dann gilt für den Restklassenring die kanonische Isomorphie
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und ).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus
Zu gegebenen ganzen Zahlen gibt es also genau eine natürliche Zahl , die die simultanen Kongruenzen
löst.
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung (die seien also verschieden und ).
Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus
Insbesondere ist eine Zahl genau dann eine Einheit modulo , wenn sie eine Einheit modulo ist für .
Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.
Es sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt für jede zu teilerfremde Zahl die Beziehung
Es sei eine Primzahl und eine Potenz davon.
Dann ist
Es sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die seien also verschieden und ).
Dann ist
Sei ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei
ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper .
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
mit
wobei die kanonische Einbettung
bezeichnet.
Sei ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper .
Dann besitzt jedes Element , , eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
mit einer Einheit und ganzzahligen Exponenten .
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom vom Grad und der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von in mit ).
- Man kann stets als normiert annehmen (also ; das werden wir im Folgenden tun).
- In ist .
- Höhere Potenzen , , kann man mit den Potenzen , , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
- Die Potenzen bilden eine -Basis von .
- ist ein -Vektorraum der Dimension .
- In werden zwei Elemente und komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
Es sei ein Körper, eine - Algebra und ein Element. Es sei das Minimalpolynom von über .
Dann ist der Kern des kanonischen - Algebrahomomorphismus
das von erzeugte Hauptideal.
Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Es sei das Minimalpolynom von .
Dann gibt es eine kanonische - Algebraisomorphie
Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Minimalpolynom von über ist irreduzibel.
- Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Es sei das Minimalpolynom von .
Dann gibt es eine kanonische - Algebraisomorphie
Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Minimalpolynom von über ist irreduzibel.
- Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist algebraisch über .
- Es gibt ein normiertes Polynom mit .
- Es besteht eine
lineare Abhängigkeit
zwischen den Potenzen
- Die von über erzeugte -Algebra hat endliche -Dimension.
- liegt in einer endlichdimensionalen -Algebra .
Sei eine Körpererweiterung und sei ein algebraisches Element.
Dann ist die von erzeugte -Algebra ein Körper.
Es sei eine Körpererweiterung und sei der algebraische Abschluss von in .
Dann ist ein Unterkörper von .
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung.
Dann gibt es ein , und .
Sei
eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen.
Dann ist isomorph zu oder zu .
Seien und endliche Körpererweiterungen.
Dann ist auch eine endliche Körpererweiterung und es gilt
Es sei ein Körper und sei ein Polynom. Es seien und zwei Zerfällungskörper von .
Dann gibt es einen -Algebraisomorphismus
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.
In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.
- Zu einer Geraden und zwei Punkten kann man die zu senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen und halbiert.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer Geraden und einem Punkt kann man die zu senkrechte Gerade durch zeichnen.
- Zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt kann man die Gerade durch zeichnen, die zu parallel ist.
Die Menge der konstruierbaren Zahlen ist ein Unterkörper von .
Es sei eine mit zwei Punkten und markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel aus mittels Zirkel und Lineal konstruierbar.
Es sei eine komplexe Zahl. Dann ist eine konstruierbare Zahl genau dann,
wenn es eine Kette von reell-quadratischen Körpererweiterungen
derart ist, dass die Koordinaten von zu gehören.
Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl
ist algebraisch.
Es sei eine konstruierbare Zahl.
Dann ist der Grad des Minimalpolynoms von eine Potenz von zwei.
Es sei eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige -Eck konstruierbar ist.
Dann ist eine Zweierpotenz.
Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
Ein reguläres -Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von die Gestalt
hat, wobei die verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.