Kurs:Lineare Algebra II/Vektorräume (Ergänzungen)

Wir wollen hier zwei allgemeine Konstruktionen mit Vektorräumen ergänzen, die auch bei anderen Strukturen immer wiederkehren werden.

Quotientenraum und Homomorphiesatz

Betrachten wir lineare Gleichungssysteme $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, mit fester Koeffizientenmatrix $A$ und variabler rechter Seite $\mathbf {b} \in K^{m}$. Dann sind die Lösungsmengen affine Unterräume mit gleichem Untervektorraum ${\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} )=\mathbf {x} +{\mathcal {H}}_{0}(A)$, wobei $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {b} )$ eine spezielle (aber beliebige) Lösung von $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ist (sofern es überhaupt eine Lösung gibt). Wir wissen bereits: Sind ${\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{1})=\mathbf {x} _{1}+{\mathcal {H}}_{0}(A)$ und ${\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{2})=\mathbf {x} _{2}+{\mathcal {H}}_{0}(A)$, dann sind ${\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} _{1}+\mathbf {b} _{2})=(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})+{\mathcal {H}}_{0}(A),\ {\mathcal {H}}(A,r\mathbf {b} _{1})=(r\mathbf {x} _{1})+{\mathcal {H}}_{0}(A)$. Damit erhält die Menge der Lösungsräume $\{{\mathcal {H}}(A,\mathbf {b} )|\mathbf {b} \in {\mathcal {S}}(A)\}$ die Struktur eines Vektorraumes.
Jeder Unterraum $U\subseteq V$ induziert auf $V$ ein Äquivalenzrelation $\mathbf {x} \sim _{U}\mathbf {y}$ gdw. $\mathbf {x} -\mathbf {y} \in U$. Wir bezeichnen mit $V/U$ die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen ${\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} +U$.

Definition 2.1

$V/U$ ist ein $K$-Vektorraum, genannt der Quotientenraum von $V$ nach $U$, durch die folgende Festsetzung der Addition und skalaren Multiplikation $(\mathbf {x} +U)+(\mathbf {y} +U):=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+U$ und $r(\mathbf {x} +U):=(r\mathbf {x} )+U$.

Corollar 2.2

Die natürliche Abbildung $p_{U}:V\to V/U,\mathbf {x} \mapsto {\overline {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} +U$ ist eine surjektive lineare Abbildung mit $ker(p_{U})=U$. Insbesondere gilt $\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)$.

Beispiel: Sei $V=K[X],f(X)\in K[X],U=\{hf|h\in K[X]\}$, dann gilt $\dim(V/U)=d=\deg(f)$ und $V/U=Lin\{{\overline {1}},{\overline {X}},{\overline {X}}^{2},...,{\overline {X}}^{d-1}\}$.

Satz 2.3 (Homomorphiesatz)

Sei $L:V\to W$ eine lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung $L':V/ker(L)\to W$ mit $L=L'\circ p_{ker(L)}$. Dabei induziert $L'$ einen Isomorphismus $V/ker(L)\cong im(L)$.

Dabei entsprechen die Elemente von $V/ker(L)$ den Fasern (Urbildmengen) von $L$.
Die Konstruktion von Restklassenstrukturen ist nicht an Vektorräume gebunden. Dahinter steckt ein allgemeines Prinzip. Dies gilt auch für den folgenden Isomorphiesatz.

Satz 2.4

Sind $U_{1}$ und $U_{2}$ Unterräume von $V$, dann gilt $(U_{1}+U_{2})/U_{1}\cong U_{2}/(U_{1}\cap U_{2})$.

Dualer Vektorraum

Definition 2.5

Der duale Raum $V^{*}$ eines Vektorraumes $V$ ist der Raum der linearen Funktionale $V^{*}:=Hom(V,K)$.

Beispiel: Der duale Raum von $Mat(n,1)$ ist $Mat(1,n)$ und umgekehrt, der duale Raum von $K[X]$ ist isomorph zu $K^{\mathbb {N} }$. Eigenschaften und spezielle Konstruktionen:

• Die Anwendung linearer Funktionale auf Vektoren induziert eine (kanonische) Bilinearform $V^{*}\times V\to K,(\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} )\mapsto [\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} ]:=\mathbf {x} ^{*}(\mathbf {y} )$.
• Zu jeder Basis $B$ von $V$ gibt es eine eindeutig bestimmte Basis $B^{*}$ von $V^{*}$, genannt duale Basis zu $B$. Dabei wird $\mathbf {v} _{j}^{*}$ durch lineare Fortsetzung der Zuordnung $\mathbf {v} _{i}\mapsto \delta _{ij}$ definiert. Dann gelten ähnliche Rechenregeln wie für ONBs, beispielsweise bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. $B$ durch $\mathbf {x} =\sum _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}(\mathbf {x} )\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}[\mathbf {v} _{i}^{*},\mathbf {x} ]\mathbf {v} _{i}$.
• Zu einem Unterraum $U\subseteq V$ lässt sich ein Unterraum $Ann(U)\subseteq V^{*}$ zuordnen

$Ann(U):=\{\mathbf {v} ^{*}\in V^{*}|[\mathbf {v} ^{*},\mathbf {u} ]=0\mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } \mathbf {u} \in U\}$.

Testfrage: Man bestimme $\dim(Ann(U))$ als Funktion von $\dim(U)$.

• Ein endlich-dimensionaler Vektorraum $V$ ist isomorph zu seinem dualen Raum $V^{*}$ (allein aus Dimensionsgründen), es gibt jedoch keinen ausgezeichneten Isomorphismus, der basisunabhängig definiert werden kann.
• Dagegen ist die Abbildung $i:V\to V^{**}$, wobei $i(\mathbf {x} )$ durch die Festlegung $[i(\mathbf {x} ),\mathbf {y} ']=[\mathbf {y} ',\mathbf {x} ]$ für alle $\mathbf {y} '\in V^{*}$ bestimmt ist, ein kanonischer Isomorphismus für jeden endlich erzeugten Vektorraum.
• Ist ein endlich erzeugter Vektorraum euklidisch, dann existiert ein basisunabhängiger Isomorphismus induziert durch das Skalarprodukt $V\cong V^{*}$ durch $\mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {x} ,-\rangle$.
• Jeder linearen Abbildung $L:V\to W$ ist eine duale (oder auch adjungierte) lineare Abbildung $L^{*}:W^{*}\to V^{*}$ zugeordnet. Dabei wird $L^{*}$ definiert durch $[L^{*}(\mathbf {w} ^{*}),\mathbf {v} ]=[\mathbf {w} ^{*},L(\mathbf {v} )]$.

Beispiel für nützliche Aussagen in Termen dualer Räume:

• $ker(L^{*})=Ann(im(L))$,
• $(V/U)^{*}\cong Ann(U)$,
• $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ ist lösbar gdw. $\mathbf {b} ^{t}\in Ann({\mathcal {H}}_{0}(A^{t}))$ oder anders geschrieben: $im(L_{A})=Ann(ker(L_{A}^{*}))$.

Anwendungsbeispiel: Langrangesche Interpolationspolynome
Betrachte $V^{*}$ zu $V=K[X]_{d}$, den Polynomen von Grad $\leq d$, dann bilden die Evaluierungsabbildungen $\xi _{i}:f(X)\mapsto f(t_{i})$ in $(d+1)$ verschiedenen Werten $t_{0},...,t_{d}\in K$ eine Basis $B_{0}$ von $V^{*}$. Wir suchen eine Basis $B$ von $V$, so dass die duale Basis $B^{*}$ mit $B_{0}$ übereinstimmt.
Lösung: Die Lagrange-Polynome $L_{j}(X)=\prod _{i\neq j}^{d}{\frac {X-t_{i}}{t_{j}-t_{i}}}$ bilden die gesuchte Basis $B$. Wir wollen ein Polynom $f\in V$ finden, dass an den Stellen $x_{j}$ vorgegebene Werte annehmen soll: $f(t_{j})=a_{j}$. Dann gilt $f=\sum _{j}a_{j}L_{j}(X)$.