Kurs:Lineare Algebra II/Vektorräume (Ergänzungen)

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Wir wollen hier zwei allgemeine Konstruktionen mit Vektorräumen ergänzen, die auch bei anderen Strukturen immer wiederkehren werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Quotientenraum und Homomorphiesatz
2 Dualer Vektorraum
- 2.1 Definition 2.5

[Bearbeiten] Quotientenraum und Homomorphiesatz

Betrachten wir lineare Gleichungssysteme $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , mit fester Koeffizientenmatrix $A$ und variabler rechter Seite $\mathbf{b} \in K^m$ . Dann sind die Lösungsmengen affine Unterräume mit gleichem Untervektorraum $\mathcal{H}(A, \mathbf{b}) = \mathbf{x} + \mathcal{H}_0(A)$ , wobei $\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{b})$ eine spezielle (aber beliebige) Lösung von $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ist (sofern es überhaupt eine Lösung gibt). Wir wissen bereits: Sind $\mathcal{H}(A, \mathbf{b}_1) = \mathbf{x}_1 + \mathcal{H}_0(A)$ und $\mathcal{H}(A, \mathbf{b}_2) = \mathbf{x}_2 + \mathcal{H}_0(A)$ , dann sind $\mathcal{H}(A, \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2) = (\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2) + \mathcal{H}_0(A),\ \mathcal{H}(A, r\mathbf{b}_1) = (r\mathbf{x}_1) + \mathcal{H}_0(A)$ . Damit erhält die Menge der Lösungsräume $\{\mathcal{H}(A, \mathbf{b}) | \mathbf{b} \in \mathcal{S}(A)\}$ die Struktur eines Vektorraumes.
Jeder Unterraum $U \subseteq V$ induziert auf $V$ ein Äquivalenzrelation $\mathbf{x} \sim_U \mathbf{y}$ gdw. $\mathbf{x}-\mathbf{y} \in U$ . Wir bezeichnen mit $V / U$ die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen $\overline{\mathbf{x}} = \mathbf{x} + U$ .

[Bearbeiten] Definition 2.1

$V / U$ ist ein $K$ -Vektorraum, genannt der Quotientenraum von $V$ nach $U$ , durch die folgende Festsetzung der Addition und skalaren Multiplikation $(\mathbf{x} + U) + (\mathbf{y} + U) := (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + U$ und $r(\mathbf{x} + U) := (r\mathbf{x}) + U$ .

[Bearbeiten] Corollar 2.2

Die natürliche Abbildung $p_U: V \to V/U, \mathbf{x} \mapsto \overline{\mathbf{x}} = \mathbf{x} + U$ ist eine surjektive lineare Abbildung mit $k e r (p U) = U$ . Insbesondere gilt $\dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U)$ .

Beispiel: Sei $V = K[X], f(X) \in K[X], U = \{hf | h \in K[X]\}$ , dann gilt $\dim(V/U) = d = \deg(f)$ und $V/U = Lin\{\overline{1}, \overline{X}, \overline{X}^2, ..., \overline{X}^{d-1}\}$ .

[Bearbeiten] Satz 2.3 (Homomorphiesatz)

Sei $L: V \to W$ eine lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutige lineare Abbildung $L' : V/ker(L) \to W$ mit $L = L' \circ p_{ker(L)}$ . Dabei induziert $L'$ einen Isomorphismus $V/ker(L) \cong im(L)$ .

Dabei entsprechen die Elemente von $V / k e r (L)$ den Fasern (Urbildmengen) von $L$ .
Die Konstruktion von Restklassenstrukturen ist nicht an Vektorräume gebunden. Dahinter steckt ein allgemeines Prinzip. Dies gilt auch für den folgenden Isomorphiesatz.

[Bearbeiten] Satz 2.4

Sind $U 1$ und $U 2$ Unterräume von $V$ , dann gilt $(U_1 + U_2)/U_1 \cong U_2/(U_1 \cap U_2)$ .

[Bearbeiten] Dualer Vektorraum

[Bearbeiten] Definition 2.5

Der duale Raum $V *$ eines Vektorraumes $V$ ist der Raum der linearen Funktionale $V * : = H o m (V, K)$ .

Beispiel: Der duale Raum von $M a t (n,1)$ ist $M a t (1, n)$ und umgekehrt, der duale Raum von $K [X]$ ist isomorph zu $K^\mathbb{N}$ . Eigenschaften und spezielle Konstruktionen:

Die Anwendung linearer Funktionale auf Vektoren induziert eine (kanonische) Bilinearform $V^* \times V \to K, (\mathbf{x}^*, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x}^*, \mathbf{y}] := \mathbf{x}^*(\mathbf{y})$ .
Zu jeder Basis $B$ von $V$ gibt es eine eindeutig bestimmte Basis $B *$ von $V *$ , genannt duale Basis zu $B$ . Dabei wird $\mathbf{v}^*_j$ durch lineare Fortsetzung der Zuordnung $\mathbf{v}_i \mapsto \delta_{ij}$ definiert. Dann gelten ähnliche Rechenregeln wie für ONBs, beispielsweise bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. $B$ durch $\mathbf{x} = \sum_i \mathbf{v}^*_i(\mathbf{x}) \mathbf{v}_i = \sum_i [\mathbf{v}^*_i, \mathbf{x}] \mathbf{v}_i$ .
Zu einem Unterraum $U \subseteq V$ lässt sich ein Unterraum $Ann(U) \subseteq V^*$ zuordnen

$Ann(U) := \{\mathbf{v}^* \in V^* | [\mathbf{v}^*, \mathbf{u}] = 0\mathrm{\ f\ddot ur\ alle\ } \mathbf{u} \in U\}$ .

Testfrage: Man bestimme $\dim(Ann(U))$ als Funktion von $\dim(U)$ .

Ein endlich-dimensionaler Vektorraum $V$ ist isomorph zu seinem dualen Raum $V *$ (allein aus Dimensionsgründen), es gibt jedoch keinen ausgezeichneten Isomorphismus, der basisunabhängig definiert werden kann.
Dagegen ist die Abbildung $i: V \to V^{**}$ , wobei $i(\mathbf{x})$ durch die Festlegung $[i(\mathbf{x}), \mathbf{y}'] = [\mathbf{y}', \mathbf{x}]$ für alle $\mathbf{y}' \in V^*$ bestimmt ist, ein kanonischer Isomorphismus für jeden endlich erzeugten Vektorraum.
Ist ein endlich erzeugter Vektorraum euklidisch, dann existiert ein basisunabhängiger Isomorphismus induziert durch das Skalarprodukt $V \cong V^*$ durch $\mathbf{x} \mapsto \langle \mathbf{x}, - \rangle$ .
Jeder linearen Abbildung $L: V \to W$ ist eine duale (oder auch adjungierte) lineare Abbildung $L^*: W^* \to V^*$ zugeordnet. Dabei wird $L *$ definiert durch $[L^*(\mathbf{w}^*), \mathbf{v}] = [\mathbf{w}^*, L(\mathbf{v})]$ .

Beispiel für nützliche Aussagen in Termen dualer Räume:

$k e r (L *) = A n n (i m (L))$ ,
$(V/U)^* \cong Ann(U)$ ,
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ist lösbar gdw. $\mathbf{b}^t \in Ann(\mathcal{H}_0(A^t))$ oder anders geschrieben: $im(L_A) = Ann(ker(L_A^*))$ .

Anwendungsbeispiel: Langrangesche Interpolationspolynome
Betrachte $V *$ zu $V = K [X] d$ , den Polynomen von Grad $\le d$ , dann bilden die Evaluierungsabbildungen $\xi_i : f(X) \mapsto f(t_i)$ in $(d + 1)$ verschiedenen Werten $t_0, ..., t_d \in K$ eine Basis $B 0$ von $V *$ . Wir suchen eine Basis $B$ von $V$ , so dass die duale Basis $B *$ mit $B 0$ übereinstimmt.
Lösung: Die Lagrange-Polynome $L_j(X) = \prod^d_{i \neq j} \frac{X - t_i}{t_j - t_i}$ bilden die gesuchte Basis $B$ . Wir wollen ein Polynom $f \in V$ finden, dass an den Stellen $x j$ vorgegebene Werte annehmen soll: $f (t j) = a j$ . Dann gilt