Kurs:Maß- und Integrationstheorie

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche
W21-1a.svg Dieser Beitrag ist im Aufbau. Zur Zeit fehlen noch wesentliche Bestandteile. Nach deren Ergänzung und Fertigstellung kann dieser Baustein entfernt werden. Wende Dich auch an den Ersteller 85.178.96.251.

auch hier etwas Brainstorming:

Inhaltsverzeichnis


[Bearbeiten] Mengensysteme, Maße

[Bearbeiten] Halbring

Definition:
Ein Halbring \mathcal{H} ist eine nichtleere Teilmenge der Potenzmenge des Grundraums \Omega\ , mit den Eigenschaften
  1. \emptyset\in\mathcal{H}
  2. Wenn A\in\mathcal{H} und B\in\mathcal{H}, dann ist auch A\cap B\in\mathcal{H}.
  3. Wenn A\in\mathcal{H} und B\in\mathcal{H} mit B\subset A, dann gibt es endlich viele Elemente C_{i=1,\dots, n}\in\mathcal{H} mit n\in\mathbb{N}, deren disjunkte Vereinigung gleich A\setminus B\ ist.

[Bearbeiten] Ring

Definition:
Ein Ring \mathcal{R} ist ein Halbring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass wenn A\in\mathcal{R} und B\in\mathcal{R}, dann ist auch A\cup B\in\mathcal{R}.

[Bearbeiten] Algebra

Definition:
Eine Algebra \mathcal{A} ist ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass \Omega\in\mathcal{A}.

[Bearbeiten] Sigma-Algebra

Definition:
Eine Sigma-Algebra \sigma\mathcal{A} ist eine Algebra mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass
  1. für eine abzählbare Familie A_i\in\sigma\mathcal{A} ist auch ihre abzählbare Vereinigung in \sigma\mathcal{A}.
  • Inhalt
  • Maß
  • Fortsetzungssatz
  • Vervollständigung

[Bearbeiten] Lebesgue-Maß

  • Konstruktion des Lebesgue-Maß im \R^n
  • Borel-Mengen im \R^n
  • Eigenschaften Lebesgue-Mengen


[Bearbeiten] Messbare Funktionen

  • \{ \mathcal A, \mathcal B \}-messbarkeit
  • \mathcal A-messbarkeit
  • Operationen mit messbaren Funktionen
  • μ-fast überall

[Bearbeiten] Integration

  • Integration einfacher Funktionen
  • Integration \mathcal A-meßbarer Funktionen
  • μ-Integrierbare Funktionen
  • Vertauschung von Integration und Grenzübergängen
  • Lebesgue Integral


[Bearbeiten] Produkt-Maß und Integration

  • Produkt-Sigma-Algebra
  • Prudukt-Maß
  • Produktintegration


[Bearbeiten] Skripte bzw. Vorlesungsmitschriften im Netz:

[Bearbeiten] Übungsaufgaben mit Musterlösungen:

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9F-_und_Integrationstheorie“
Persönliche Werkzeuge