Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 89

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für die reellen Zahlen an.


Aufgabe *

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den an.


Aufgabe

Bestimme die Träger der folgenden Funktionen von nach .

  1. Eine Polynomfunktion.
  2. Die Sinusfunktion.
  3. Die Exponentialfunktion.
  4. Die Indikatorfunktion .
  5. Die Indikatorfunktion .
  6. Die Indikatorfunktion .
  7. Die Indikatorfunktion .


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge. Zeige, dass der Abschluss von gleich dem Träger der Indikatorfunktion ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?


Aufgabe

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung , , der reellen Zahlen und die offene Überdeckung , , (es sei ). Finde eine Überdeckung von mit offenen Intervallen, die die Eigenschaften aus Lemma 89.7 (und seinem Beweis) erfüllt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei , , eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe zur offenen Überdeckung

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die kompakte Ausschöpfung

des und die offene Überdeckung

(es sei ). Finde eine Überdeckung des mit offenen Kreisscheiben, die die Eigenschaften aus Lemma 89.7 (und seinem Beweis) erfüllt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen topologischen Raum, der keine kompakte Ausschöpfung besitzt.



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