Kurs:Mathematik I (Osnabrück 2009 2010)/Vorlesung 10

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Die Vorlesungen der nächsten Wochen beschäftigen sich mit linearer Algebra. Ihr zentraler Begriff ist der Vektorraum.




Vektorräume

Wir beginnen mit einem einführenden Beispiel.

Bildkommentar

An einem Weihnachtsstand auf dem Weihnachtsmarkt gibt es drei verschiedene Glühweintöpfe. Alle drei beinhalten die Zutaten Zimt, Gewürznelken, Rotwein und Zucker, allerdings mit unterschiedlichen Anteilen. Die Zusammensetzung der einzelnen Glühweine ist

G_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix} , \, G_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 12 \\ 3 \end{pmatrix} , \, G_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 20 \\ 7 \end{pmatrix} \, .
Jeder Glühwein wird also repräsentiert durch ein Vierertupel, deren einzelne Einträge für die Anteile an den Zutaten stehen. Die Menge aller (möglichen) Glühweine bilden einen Vektorraum, und die drei konkreten Glühweine sind drei Vektoren in diesem Raum.

Nehmen wir an, dass keiner dieser drei Glühweine genau den Geschmack trifft, der Wunschglühwein hat die Zusammensetzung

W = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 20 \\ 5 \end{pmatrix} \, .
Gibt es eine Möglichkeit, den Wunschglühwein durch Zusammenschütten der vorgegebenen Glühweine zu erhalten? Gibt es also Zahlen a,b,c \in \R[1] derart, dass
a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 12 \\ 3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 20 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 20 \\ 5 \end{pmatrix} \,
gilt. Hinter dieser einen vektoriellen Gleichung liegen vier einzelne Gleichungen in den „Variablen“ a,b,c, wobei die Gleichungen sich aus den Zeilen ergeben. Wann gibt es eine solche Lösung, wann keine, wann mehrere? Das sind typische Fragen der linearen Algebra.

Definition (Vektorraum)  

Sei K ein Körper und V = (V, + ,0) eine kommutative Gruppe. Man nennt V einen K-Vektorraum, wenn eine Abbildung

K \times V \longrightarrow V, \, (r,v) \longmapsto rv=r\cdot v \, ,
erklärt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien r,s \in K und u,v \in V beliebig)
  1. r(su) = (rs)u,
  2. r(u + v) = ru + rv,
  3. (r + s)u = ru + su,
  4. 1u = u.

Die Verknüpfung in V nennt man (Vektor)-Addition und die Operation K \times V \rightarrow V nennt man Skalarmultiplikation. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man Vektoren, und die Elemente r \in K heißen Skalare. Das Nullelement 0\in V wird auch als Nullvektor bezeichnet, und zu v \in V heißt das inverse Element das Negative zu v und wird mit − v bezeichnet. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den Grundkörper. Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werdem, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei K=\R spricht man von reellen Vektorräumen und bei K=\C von komplexen Vektorräumen. Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.

Bildkommentar

Beispiel  

Es sei K ein Körper und n \in \N_+. Dann ist die Produktmenge

K^n= \underbrace{K \times \cdots \times K }_{n-\text{mal} } = \{ (x_1 , \ldots , x_{ n }) {{|}} \, x_i \in K \} \,
mit der komponentenweisen Addition und der durch
\lambda (x_1 , \ldots , x_{ n }) = (\lambda x_1 , \ldots , \lambda x_{ n }) \,
definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Man nennt ihn den n-dimensionalen Standardraum. Insbesondere ist K1 = K selbst ein Vektorraum.

Der Nullraum 0, der aus dem einzigen Element 0 besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als K0 = 0 auffassen.


Beispiel  

Der Anschauungsraum (oder die Ebene), wie man ihn sich elementargeometrisch vorstellt, ist kein Vektorraum! Weder gibt es in ihm eine natürliche 0 noch kann man zwei Punkte darin miteinander addieren oder einen Punkt mit einer Zahl multiplizieren. Dies sieht anders aus, wenn man nicht den Anschauungsraum betrachtet, sondern alle möglichen Parallelverschiebungen im Anschauungsraum. Eine solche elementar-geometrische Verschiebung verschiebt jeden Punkt in eine bestimmte, für alle Punkte gleiche Richtung. Eine solche Verschiebungsrichtung kann man sich als einen Pfeil vorstellen. Die Menge der Parallelverschiebungen kann man in natürlicher Weise zu einem Vektorraum über \R machen. Der Nullvektor ist dann die Nullverschiebung, die also nichts verschiebt, sondern jeden Punkt an seinem Ort lässt. Die Addition von Verschiebungen ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen. Sie wird beschrieben, indem man das Ende des einen Verschiebungspfeils an die Spitze des anderen Verschiebungspfeils anlegt und den Gesamtpfeil betrachtet. Diese Verknüpfung ist kommutativ (Parallelogramm). Die Multiplikation mit einer positiven Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung der Verschiebung um den als Skalar gegebenen Faktor, die Multiplikation mit einer negativen Zahl ist dann die Streckung oder Stauchung in die andere Richtung. Insbesondere ist das Negative einer Verschiebung die entgegengesetzte Verschiebung.

Wenn man allerdings im Anschauungsraum einen Punkt als Ursprungspunkt (oder Nullpunkt) auszeichnet, so kann man jeden Punkt mit dem Verbindungspfeil vom Ursprung zu diesem Punkt identifizieren und erhält dann eine Vektorraumstruktur auf dem Anschauungsraum.


Beispiel  

Die komplexen Zahlen \C bilden einen Körper und daher bilden sie einen Vektorraum über sich selbst. Andererseits sind die komplexen Zahlen als additive Gruppe gleich \R^2. Die Multiplikation einer komplexen Zahl a + bi mit einer reellen Zahl λ = (λ,0) geschieht komponentenweise, d.h. diese Multiplikation stimmt mit der skalaren Multiplikation auf \R^2 überein. Daher sind die komplexen Zahlen auch ein reeller Vektorraum. Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass \C ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass \C ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis 1 und i.


Beispiel  

Es sei K ein Körper. Wir betrachten die Menge der Folgen in K, also

V= \{ x {{|}} \, x : \N \rightarrow K \text{ Abbildung} \} \, .
Dise ist mit komponentenweiser Addition, bei der also die Summe von zwei Folgen x und y durch
(x+y)_n :=x_n +y_n \,
erklärt wird, und mit der durch
(\lambda x)_n := \lambda x_n \,
definierten Skalarmultiplikation ein Vektorraum.

Beispiel  

Wir betrachten die Inklusion \Q \subset \R der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen. Mit der reellen Addition und mit der Multiplikation von rationalen Zahlen mit reellen Zahlen ist \R ein \Q-Vektorraum, wie direkt aus den Körperaxiomen folgt. Dies ist ein ziemlich unübersichtlicher Vektorraum.

Vor dem nächsten Beispiel führen wir Polynome über einem Körper ein.


Definition (Polynom)  

Es sei K ein Körper. Ein Ausdruck der Form

P=a_0 + a_1X+a_2X^2 + \ldots + a_nX^n \,
mit a_i \in K \text{ und } n \in \N heißt Polynom in einer Variablen über K.

Ein Polynom P definiert eine Polynomfunktion

K \longrightarrow K , \, x \longmapsto P(x) = \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } x^{ i} \, .
Der Wert dieser Funktion an der Stelle x ergibt sich also dadurch, dass man die Variable X überall durch das Körperelement x ersetzt. Achtung! Bei endlichen Körpern können verschiedene Polynome die gleiche Polynomfunktion definieren, so dass man zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheiden muss.

Beispiel  

Sei R = K[X] die Menge aller Polynome in einer Variablen über dem Körper K. Man definiert eine Addition auf R, indem man zu zwei Polynomen

P= \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } x^{ i} \, \, \text{ und } \, \, Q=\sum_{ i = 0 }^{ m } b_{ i } x^{ i} \,
folgendermaßen vorgeht. Es sei n= {\operatorname{max} \, ( n,m ) }. Man kann dann Q als eine Summe schreiben, die bis n läuft, indem man die dazu benötigten Koeffizienten bi, i > m, gleich null setzt. Damit definiert man die Summe komponentenweise, also
P+Q = \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } x^{ i} + \sum_{ i = 0 }^{ n } b_{ i } x^{ i} \, .
Desweiteren kann man ein Polynom P= \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } x^{ i} mit einem Skalar \lambda \in K multiplizieren, indem man
\lambda P := \sum_{i = 0 }^n (\lambda a_i ) X^{i} \,
setzt. Man kann einfach nachprüfen, dass mit diesen Operationen ein Vektorraum vorliegt.



Lemma

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gelten die folgenden Eigenschaften (dabei sei v \in V und \lambda \in K ).

  1. Es ist 0v = 0. [2]
  2. Es ist λ0 = 0.
  3. Es ist ( − 1)v = − v.
  4. Aus \lambda \neq 0 und v \neq 0 folgt \lambda v \neq 0.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.9.
\Box





Erzeugendensysteme und Untervektorräume

Definition (Linearkombination)  

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Es sei v_1 , \ldots , v_n eine Familie von Vektoren in V. Dann heißt der Vektor

a_1v_1+a_2v_2 + \ldots + a_nv_n \text{ mit } a_i \in K \,
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel (a_1 , \ldots , a_n)).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.


Definition (Erzeugendensystem)  

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann heißt eine Familie v_i \in V, i \in I, ein Erzeugendensystem von V, wenn man jeden Vektor v \in V darstellen kann als

v= \sum_{j \in J} \lambda_j v_j \,
mit einer endlichen Teilfamilie J \subseteq I und mit \lambda_j \in K.

Definition (Untervektorraum)  

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U \subseteq V heißt Untervektorraum, wenn gilt

  1. 0 \in U.
  2. Mit u,v \in U ist auch u+v \in U.
  3. Mit u \in U und \lambda \in K ist auch \lambda u \in U.

Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe Aufgabe 10.3. Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum V sind der Nullraum 0 und der gesamte Vektorraum V.


Definition (Aufgespannter Unterraum)  

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zu einer Familie vi, i \in I, setzt man

\langle v_i ,\, i \in I \rangle = \{ \sum_{i \in J} c_i v_i {{|}} \, c_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \} \,
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum.[3] Dieser wird ebenso von der 0 erzeugt. Zu einem einzigen Vektor v besteht der aufgespannte Raum aus Kv= \{ \lambda v {{|}} \, \lambda \in K \}. Bei v \neq 0 ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren v und w hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn gilt w = λv, so ist w überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von v erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und v und w nicht 0 sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.


Lemma

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Sei Uj, j \in J, eine Familie von Untervektorräumen. Dann ist auch der Durchschnitt
    U= \bigcap_{j \in J} U_j \,
    ein Untervektorraum.
  2. Zu einer Familie vi, i \in I, von Elementen in V ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum. Er stimmt mit dem Durchschnitt
    \bigcap_{U \subseteq V \text{ Untervektorraum}, \, v_i \in U \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, \text{alle } i \in I } U \,
    überein.
  3. Die Familie vi, i \in I, ist genau dann ein Erzeugendensystem von V, wenn
    \langle v_i ,\, i\in I \rangle =V \,
    ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.5.
\Box



Beispiel  

Es sei K ein angeordneter Körper und sei

V = \{ x {{|}} \, x : \N \rightarrow K \text{ Abbildung} \} \,
die Menge der Folgen in K (siehe Beispiel 10.5). Dann sind die beiden Teilmengen
U= \{ x \in V {{|}} \, x \text{ konvergiert in }K \} \,
und
C=\{ x \in V {{|}} \, x \text{ ist Cauchy-Folge} \} \,
Untervektorräume von V mit U \subseteq C. Die erste Aussage folgt aus Beispiel 10.5 (1),(3), für die zweite Aussage siehe Lemma 7.10.




Lineare Gleichungssysteme und Elimination

Definition (Lineare Gleichung)  

Es sei K ein Körper und a_1 , \ldots , a_n \in K. Dann nennt man

a_1x_1 +a_2x_2 + \ldots + a_nx_n =0 \,
eine lineare Gleichung in den Variablen x_1 , \ldots , x_n zu den Koeffizienten aj, j=1 , \ldots , n. Ein Tupel ( \xi_1 , \ldots , \xi_n) \in K^n heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn \sum_{j=1}^n a_j\xi_j=0 ist.

Wenn c \in K ein weiteres Element ist, so heißt

a_1x_1 +a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = c \,
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ( \zeta_1 , \ldots , \zeta_n) \in K^n heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn \sum_{j=1}^n a_j \zeta_j =c ist.

Definition ((Inhomogenes) lineares Gleichungssystem)  

Es sei K ein Körper und a_{ij} \in K für 1 \leq i \leq m und 1 \leq j \leq n . Dann nennt man

\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \ldots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \ldots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \ldots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix} \,
ein lineares Gleichungungssystem in den Variablen x_1 , \ldots , x_n. Ein Tupel ( \xi_1 , \ldots , \xi_n) \in K^n heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn \sum_{j=1}^n a_{ij } \xi_j=0 ist für alle i=1 , \ldots , m.

Wenn (c_1 , \ldots , c_m) \in K^n beliebig[4] ist, so heißt

\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \ldots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \ldots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \ldots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix} \,
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ( \zeta_1 , \ldots , \zeta_n) \in K^n heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn \sum_{j=1}^n a_{ij} \zeta_j=c_i ist für alle i.

Ein lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung 0=(0 , \ldots , 0). Ein inhomogenes Gleichungssystem braucht nicht unbedingt eine Lösung haben. Solche Gleichungssysteme treten immer wieder auf.


Beispiel  

Es sei K ein Körper und m \in \N. Im Km seien n Vektoren

v_1 = \begin{pmatrix} a_{1 1 } \\ a_{2 1 } \\ \vdots \\ a_{ m 1 } \end{pmatrix},\, v_2= \begin{pmatrix} a_{1 2 } \\ a_{2 2 } \\ \vdots \\ a_{ m 2 } \end{pmatrix} , \ldots , v_n = \begin{pmatrix} a_{1 n } \\ a_{2 n } \\ \vdots \\ a_{ m n } \end{pmatrix} \,
gegeben und sei
w= \begin{pmatrix} c_{1 } \\ c_{2 } \\ \vdots \\ c_{ m } \end{pmatrix} \,
ein weiterer Vektor. Wir wollen wissen, wann w sich als Linearkombination der vj darstellen lässt. Es geht also um die Frage, ob es m Elemente \lambda_1 , \ldots , \lambda_n \in K gibt mit der Eigenschaft
\lambda_1 \begin{pmatrix} a_{1 1 } \\ a_{2 1 } \\ \vdots \\ a_{ m 1 } \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} a_{1 2 } \\ a_{2 2 } \\ \vdots \\ a_{ m 2 } \end{pmatrix} + \ldots + \lambda_n \begin{pmatrix} a_{1 n } \\ a_{2 n } \\ \vdots \\ a_{ m n } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1 } \\ c_{2 } \\ \vdots \\ c_{ m } \end{pmatrix} \, .
Die Gleichheit von Vektoren bedeutet, dass Übereinstimmung in jeder Komponenten vorliegen muss, so dass dies zum linearen Gleichungssystem
\begin{matrix} a _{ 1 1 } \lambda _1 + a _{ 1 2 } \lambda _2 + \ldots + a _{ 1 n } \lambda _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } \lambda _1 + a _{ 2 2 } \lambda _2 + \ldots + a _{ 2 n } \lambda _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } \lambda _1 + a _{ m 2 } \lambda _2 + \ldots + a _{ m n } \lambda _{ n } & = & c_m \end{matrix} \,
führt.



Lemma

Es sei K ein Körper und

\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \ldots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \ldots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \ldots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix} \,
ein lineares Gleichungssystem über K.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des Kn (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

Beweis

Siehe Aufgabe 10.7.
\Box


Man spricht daher auch vom Lösungsraum des Gleichungssystems. Insbesondere addiert man zwei lineare Gleichungen, indem man die zu einer Variablen gehörenden Koeffizienten jeweils miteinander addiert. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Dennoch gibt es auch dafür eine sinnvolle Addition, wobei man wieder die Koeffizienten zu den Variablen, aber auch die inhomogenen Koeffizienten miteinander addieren muss.


Definition (Äquivalente lineare Gleichungssysteme)  

Es sei K ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsräume übereinstimmen.

Die Äquivalenz von linearen Gleichungssystemen ist eine Äquivalenzrelation. Eine naheliegende Aufgabe ist es, zu einem linearen Gleichungssystem ein möglichst einfaches äquivalentes Gleichungssystem zu finden, und dieses dann zu „lösen“.



Lemma  

Es sei K ein Körper und

\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \ldots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \ldots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \ldots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix} \,
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem.

Dann führen die folgenden Manipulationen an diesem Gleichungssystem zu einem äquivalenten Gleichungssystem.

  1. Das Vertauschen von zwei Gleichungen.
  2. Die Multiplikation einer Gleichung mit einen Skalar \lambda \neq 0.
  3. Das einfache Weglassen einer Gleichung, die doppelt vorkommt.
  4. Das Verdoppeln einer Gleichung (im Sinne von eine Gleichung zweimal hinschreiben).
  5. Das Weglassen oder Hinzufügen von einer Nullzeile.
  6. Das Ersetzen einer Gleichung H durch diejenige Gleichung, die entsteht, wenn man zu H eine andere Gleichung G des Systems addiert.

Beweis  

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn

\sum_{i=1}^n a_ix_i = c \,
gilt, dass dann auch
\sum_{i=1}^n (\lambda a_i)x_i = \lambda c \,
gilt für jedes \lambda \in K. Bei \lambda \neq 0 kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit λ − 1 rückgängig machen.

(6). Es sei G die Gleichung

\sum_{i=1}^n a_ix_i = c \,
und H die Gleichung
\sum_{i=1}^n b_ix_i = d \, .
Wenn ein Tupel (\xi , \ldots , \xi_n) die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung H' = G + H. Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen G und H' erfüllt, so auch die Gleichung G und H = H' − G.
\Box



Lemma  

Es sei K ein Körper und S ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über K in einer Menge von Variablen. Es sei x eine Variable, die in mindestens einer Gleichung G mit einem von null verschiedenen Koeffizienten a vorkommt.

Dann lässt sich jede von G verschiedene[5] Gleichung H durch eine Gleichung H' ersetzen, in der x nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem S', das aus G und den Gleichungen H' besteht, äquivalent zum Ausgangssystem S ist.

Beweis  

Es sei G die Gleichung

ax + \sum_{i \in I} a_ix_i = b \,
(mit a \neq 0) und H die Gleichung
cx + \sum_{i \in I} c_ix_i = d \, .
Dann hat die Gleichung H'=H - \frac{c}{a} G die Gestalt
\sum_{i \in I} (c_i- \frac{c}{a} a_i ) x_i= d - \frac{c}{a} b \, ,
in der x nicht mehr vorkommt. Wegen H=H' + \frac{c}{a} G gilt, dass die Gleichungssysteme äquivalent sind.
\Box



Verfahren (Gauss'sches Eliminationsverfahren)  

Gegeben sei ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem S über einem Körper K. Dann wendet man auf eine geeignete Variable x Lemma 10.22 an und erhält ein äquivalentes Gleichungssystem bestehend aus einer linearen Gleichung G1, in der x vorkommt, und einer Menge R1 von Gleichungen, in denen x nicht vorkommt. Das System S_1= \{G_1\} \cup R_1 ist äquivalent zu S. Man wendet nun dieses Verfahren auf R1 an (falls R1 zwei von null verschiedene Gleichungen besitzt) und eliminiert dort eine weitere Variable, etc. So erhält man nach und nach Gleichungssysteme Ri mit immer weniger Variablen und der Eigenschaft, dass S_i=\{G_1 , \ldots , G_i \} \cup R_i äquivalent zu S ist. Man ist fertig, wenn man nicht mehr eliminieren kann, und dies ist genau dann der Fall, wenn in Ri nur noch eine von null verschiedene Gleichung steht.

Insgesamt erhält man so ein äquivalentes Gleichungssystem in „Stufenform“, das man einfach lösen kann.




Fußnoten
  1. ↑ Sinnvoll interpretierbar sind in diesem Beispiel nur positive Zahlen, da man schwerlich aus einem Glühweingemisch die einzelnen verwendeten Glühweinsorten wieder herausziehen kann. In der linearen Algebra spielt sich aber alles über einem Körper ab, so dass wir auch negative Zahlen zulassen.
  2. ↑ Man mache sich hier und im Folgenden klar, wann die 0 in K und wann sie in V zu verstehen ist.
  3. ↑ Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus Definition 10.13 ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich 0 ist.
  4. ↑ Ein solcher Vektor heißt manchmal ein Störvektor des Systems.
  5. ↑ Mit verschieden ist hier gemeint, dass die beiden Gleichungen einen unterschiedlichen Index im System haben. Es ist also sogar der Fall erlaubt, dass G und H dieselbe, aber doppelt aufgeführte Gleichung ist.



<< | Kurs:Mathematik I (Osnabrück 2009 2010) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematik_I_(Osnabr%C3%BCck_2009_2010)/Vorlesung_10“
Persönliche Werkzeuge