Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 14

Rang von Matrizen

Definition

Es sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} M$ eine ${{}} m \times n$-Matrix über ${{}} K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Unterraums von ${{}} K^m$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

$\operatorname{rang} \, M .$

Korollar

Es sei ${{}} K$ ein Körper und es seien ${{}} V$ und ${{}} W$ Vektorräume über ${{}} K$ der Dimension ${{}} n$ bzw. ${{}} m$. Es sei

${{}} \varphi \colon V \longrightarrow W \,$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${{}} M \in \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

$\operatorname{rang} \, \varphi = \operatorname{rang} \, M .$

Beweis

Siehe Aufgabe 14.2.

$\Box$

Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer Matrix ein, das ist die Dimension des von den Zeilen erzeugten Unterraumes.

Lemma

Es sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} M$ eine ${{}} m \times n$-Matrix über ${{}} K$.

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 13.13 verwendeten Zahl ${{}} r$.

Beweis

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Satz 13.13 angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang ${{}} r$, da die ersten ${{}} r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang ${{}} r$, da wiederum die ersten ${{}} r$ Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser ${{}} r$ Spalten sind. Die Aufgabe 14.1 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.

$\Box$

Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.

Korollar

Es sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} M$ eine ${{}} n \times n$-Matrix über ${{}} K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${{}} M$ ist invertierbar.
2. Der Rang von ${{}} M$ ist ${{}} n$.
3. Die Zeilen von ${{}} M$ sind linear unabhängig.
4. Die Spalten von ${{}} M$ sind linear unabhängig.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 13.8 und aus Lemma 14.3.

$\Box$

Determinanten

Definition

Es sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} M= ( a _{ i j } )_{ i j }$ eine ${{}} n \times n$-Matrix über ${{}} K$. Zu ${{}} i \in \{ 1 , \ldots , n \}$ sei ${{}} M_i$ diejenige ${{}} (n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${{}} M$ die erste Spalte und die ${{}} i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${{}} M$ durch

$\operatorname{det} \, M = \begin{cases} a_{11} & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, M_i & \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, n \geq 2 \, . \end{cases}$

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Für kleine ${{}} n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

Beispiel

Für eine ${{}} 2\times 2$-Matrix

$M= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

ist

$\operatorname{det} \, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a d - c b .$

Als Merkregel für eine ${{}} 3\times 3$-Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel

Für eine ${{}} 3 \times 3$-Matrix

$M= \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}$

ist

$\operatorname{det} \, \begin{pmatrix} a_{ 1 1 } & a_{ 1 2 } & a_{ 1 3 } \\ a_{ 2 1 } & a_{ 2 2 } & a_{ 2 3 } \\ a_{ 3 1 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix} = a_{1 1 } a_{2 2 } a_{3 3 } + a_{1 2 } a_{2 3 } a_{3 1 } + a_{1 3 } a_{2 1 } a_{3 2 } - a_{1 3 } a_{2 2 } a_{3 1 } - a_{1 1 } a_{2 3 } a_{3 2 } - a_{1 2 } a_{2 1 } a_{3 3 } .$

Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix

$M=\begin{pmatrix} b_1 & * & \cdots & \cdots & * \\ 0 & b_2 & * & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{ n-1} & * \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_{ n } \end{pmatrix}$

ist

$\operatorname{det} \, M = b_1b_2 {\cdots } b_{n-1} b_n .$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix

$\operatorname{det} \, E_{ n } =1 .$

Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.

$\Box$

Determinantenfunktionen

Zur systematischen Behandlung von Determinanten braucht man einige neue Begriffe.

Definition (Multilineare Abbildung)

Es sei ${{}} K$ ein Körper und seien ${{}} V_1 , \ldots , V_n$ und ${{}} W$ ${{}} K$-Vektorräume. Eine Abbildung

${{}} \triangle \colon V_1 \times \cdots \times V_n \longrightarrow W \,$

heißt multilinear, wenn für jedes ${{}} i \in \{ 1 , \ldots , n \}$ und jedes ${{}} (n-1)$-Tupel ${{}} (v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)$ mit ${{}} v_j \in V_j$ die induzierte Abbildung

${{}} V_i \longrightarrow W , \, v_i \longmapsto \triangle ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_i , v_{i+1} , \ldots , v_n ) \, ,$

${{}} K$-linear ist.

Definition (Alternierende Abbildung)

Es sei ${{}} K$ ein Körper und ${{}} V$ ein ${{}} K$-Vektorraum und ${{}} n \in \N$. Eine multilineare Abbildung

${{}} \triangle \colon V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n-\text{mal} } \longrightarrow K \,$

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: falls in ${{}} v= (v_1 , \ldots , v_{ n })$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${{}} v_i=v_j$ für ein Paar ${{}} i \neq j$, so ist ${{}} \triangle (v)=0$.

Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

$\operatorname{Mat}_{ n } (K) \cong (K^n)^n$

vornimmt, bei der einer Matrix das ${{}} n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix auf als einen Spaltenvektor

$\begin{pmatrix} v_{1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} ,$

wobei die einzelnen Einträge ${{}} v_i$ Zeilenvektoren der Länge ${{}} n$ sind.

Satz

Es sei ${{}} K$ ein Körper und ${{}} n \in \N_+$.

Dann ist die Determinante

${{}} \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n \longrightarrow K , \, M \longmapsto \operatorname{det} \, M \, ,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${{}} k \in \{ 1 , \ldots , n \}$, für ${{}} n-1$ Vektoren ${{}} v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n \in K^n$ und für ${{}} u,w \in K^n$ die Gleichheit

$\operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ u+w \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ u \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ w \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix}$

und für ${{}} s \in K$ die Gleichheit

$\operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ s u \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} = s \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ u \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} .$

gilt.

Beweis

Seien

$M := \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ u \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} \, ,M' := \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ w \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} \text{ und } \tilde{M} := \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v _{ k -1 } \\ u+w \\ v _{ k +1 } \\ \vdots \\ v_{ n } \end{pmatrix} ,$

wobei wir die Einträge analog bezeichnen. Insbesondere ist also ${{}} u=(a_{k1} , \ldots , a_{kn} )$ und ${{}} w=(a'_{k1} , \ldots , a'_{kn} )$. Zu jedem Vektor ${{}} v$ sei ${{}} v ^{*}$ der Vektor, der entsteht, wenn man den ersten Eintrag weglässt. Zu ${{}} v_i=(a_{i1} , \ldots , a_{in})$ ist also ${{}} v_i ^{*} =(a_{i2} , \ldots , a_{in})$. Mit dieser Notation ist

$M_k = \begin{pmatrix} v_1 ^{*} \\ \vdots \\ v_{k-1} ^{*} \\ v_{k+1} ^{*} \\ \vdots \\ v_n ^{*} \end{pmatrix} .$

 Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach ${{}} n$, wobei der Fall ${{}} n=1$ klar ist. Für ${{}} i \neq k$ ist ${{}} \tilde{a}_{i 1} =a_{i1} = a'_{i1}$ und

${{}} \operatorname{det} \, \tilde{M}_i = \operatorname{det} \, M_i + \operatorname{det} \, M'_i \,$

nach Induktionsvoraussetzung. Für ${{}} i=k$ ist ${{}} M_k=M_k'=\tilde{M}_k$ und es ist ${{}} \tilde{a}_{k 1} =a_{k1} + a'_{k1}$. Insgesamt ergibt sich

${{}} \begin{align} \operatorname{det} \, \tilde{M} & = \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} \tilde{a}_{i1} \operatorname{det} \, \tilde{M}_i \\ & = \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} ( \operatorname{det} \, {M}_i + \operatorname{det} \, {M}'_i ) + (-1)^{k+1} ( a_{k1} + a'_{k1} )( \operatorname{det} \, \tilde{M}_k ) \\ & = \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, {M}_i + \sum_{i = 1,\, i \neq k }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, {M}'_i + (-1)^{k+1} a_{k1} \operatorname{det} \, M_k + (-1)^{k+1} a'_{k1} \operatorname{det} \, M_k \\ & = \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, {M}_i + \sum_{i \neq k, \, i = 1,\,}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, {M}'_i + (-1)^{k+1} a'_{k1} \operatorname{det} \, M_k \\ & = \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, {M}_i + \sum_{i = 1 }^n (-1)^{i+1} a'_{i1} \operatorname{det} \, {M}'_i \\ & = \operatorname{det} \, M + \operatorname{det} \, M' . \end{align}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe 14.11.

$\Box$

Satz

Es sei ${{}} K$ ein Körper und ${{}} n \in \N_+$.

Dann besitzt die Determinante

${{}} \operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n \longrightarrow K , \, M \longmapsto \operatorname{det} \, M \, ,$

folgende Eigenschaften.

1. Wenn in ${{}} M$ zwei Zeilen übereinstimmen, so ist ${{}} \operatorname{det} \, M=0$. D.h., dass die Determinante alternierend ist.
2. Wenn man in ${{}} M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor ${{}} -1$.

Beweis

(1) und (2) werden parallel durch Induktion über ${{}} n$ bewiesen, wobei es für ${{}} n=1$ nichts zu zeigen gibt. Sei also ${{}} n \geq 2$ und ${{}} M= \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} =(a_{ij})_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien ${{}} v_r$ und ${{}} v_s$ mit ${{}} r < s$. Nach Definition ist ${{}} \operatorname{det} \, M = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} \operatorname{det} \, M_i$. Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei ${{}} \operatorname{det} \, M_i =0$ für ${{}} i \neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

$\operatorname{det} \, M = (-1)^{r+1} a_{r1} \operatorname{det} \, M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \operatorname{det} \, M_s ,$

wobei ${{}} a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen ${{}} M_r$ und ${{}} M_s$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile ${{}} z=v_r=v_s$ in ${{}} M_r$ als die ${{}} (s-1)$-te Zeile und in ${{}} M_s$ als die ${{}} r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${{}} s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${{}} M_r$ in ${{}} M_s$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${{}} (-1)^{s-r-1}$, also ist ${{}} \operatorname{det} \, M_s =(-1)^{s-r-1} \operatorname{det} \, M_r$. Setzt man dies oben ein, so erhält man

${{}} \begin{align} \operatorname{det} \, M & = (-1)^{r+1} a_{r1} \operatorname{det} \, M_r + (-1)^{s+1} a_{s1} \operatorname{det} \, M_s \\ & = a_{r1} ((-1)^{r+1} \operatorname{det} \, M_r + (-1)^{s+1} (-1)^{s-r-1} \operatorname{det} \, M_r) \\ & = a_{r1}( ( (-1)^{r+1} +(-1)^{2s -r } ) \operatorname{det} \, M_r ) \\ & = a_{r1}( ( (-1)^{r+1} +(-1)^{r } ) \operatorname{det} \, M_r) \\ & = 0 . \end{align}$

Jetzt beweisen wir (2). Nach Teil (1) (für ${{}} n$) und aufgrund der Multilinearität ist

${{}} \begin{align} 0 & = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r+v_s \\ \vdots \\ v_r+v_s \\ \vdots \end{pmatrix} \\ & = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r \\ \vdots \\ v_r+v_s \\ \vdots \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_s \\ \vdots \\ v_r+v_s \\ \vdots \end{pmatrix} \\ & = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r \\ \vdots \\ v_r \\ \vdots \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r \\ \vdots \\ v_s \\ \vdots \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_s \\ \vdots \\ v_r \\ \vdots \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_s \\ \vdots \\ v_s \\ \vdots \end{pmatrix} \\ & = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_r \\ \vdots \\ v_s \\ \vdots \end{pmatrix} + \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} \vdots \\ v_s \\ \vdots \\ v_r \\ \vdots \end{pmatrix} . \end{align}$

$\Box$

Satz

Es sei ${{}} K$ ein Körper und sei ${{}} M$ eine ${{}} n \times n$-Matrix über ${{}} K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${{}} \operatorname{det} \, M \neq 0$.
2. Die Zeilen von ${{}} M$ sind linear unabhängig.
3. ${{}} M$ ist invertierbar.
4. ${{}} \operatorname{rang} \, M=n$.

Beweis

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 14.4 gezeigt. Seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschen annehmen, dass ${{}} v_n= \sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i$ ist. Dann ist nach Satz 14.12

${{}} \operatorname{det} \, M = \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1} \\ \sum_{i = 1}^{n-1} s_i v_i \end{pmatrix} = \sum_{i = 1}^{n-1} s_i \operatorname{det} \, \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1} \\ v_i \end{pmatrix} = 0 \, .$

Seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Zeilenaddition die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von null verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ${{}} 1$ ist, muss auch die Determinate der Ausgangsmatrix ${{}} \neq 0$ sein.

$\Box$

Bemerkung  

Bei ${{}} K=\R$ steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im ${{}} \R^n$ Vektoren ${{}} v_1 , \ldots , v_n$ betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

$P := \left\{ s_1v_1 + \ldots + s_n v_n {{|}} \, s_i \in [0,1] \right\} .$

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

$\operatorname{vol} \, P = \mid\! \operatorname{det} \, (v_1, \ldots , v_n)\!\mid ,$

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.

Fußnoten

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