Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Rationale Zahlen

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Satz:

Die Menge der rationalen Zahlen entspricht genau der Menge der endlichen Dezimalzahlen und der unendlichen periodischen Dezimalzahlen.

Satz:

Jede rationale Zahl ist eine endliche Dezimalzahl oder eine unendliche periodische Dezimalzahl.

Inhaltsverzeichnis

1 unendliche Folge von Neunern
2 Umwandlung zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung
3 Betrag rationaler Zahlen
4 rationale Intervallschachtelung

[Bearbeiten] unendliche Folge von Neunern

Satz:

$\forall \left( q\in\mathbb Q \land q \in\left] 0,1 \right[ \right):\ \sum\limits_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + \ldots + q^n = \sum\limits_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$

Beweis:

$\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q} -\frac{q^{n+1}}{1-q} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n} q^k - \frac{1}{1-q} = -\frac{q^{n+1}}{1-q}$
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} -\frac{q^{n+1}}{1-q} = -\frac{0}{1-q} = 0$
$\sum\limits_{k=0}^{n} q^k - \frac{1}{1-q} = 0 \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1}{1-q}$

Satz:

Jede unendliche Dezimalzahl, welche mit einer unendlichen Folge von Neunern endet, stellt eine endliche Dezimalzahl dar.

Beispiel:

$0{,}999\ldots = 1$

Beweis:

$0{,}999\ldots =$ $0{,}9\,\left( 1 + 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-3} + \ldots + 10^{-\infty} \right) =$ $0{,}9\,\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{10} \right)^k =$ $0{,}9\,\frac{1}{1-\frac{1}{10}} =$ $0,9\,\frac{10}{9} =$ $1$

Definition:

Um eine eindeutige Zahlendarstellung zu erhalten, tritt im dezimalen Zahlensystem ab einen bestimmten Index die Ziffer 9 nicht mehr auf.

[Bearbeiten] Umwandlung zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung

Satz:

Die Umwandlung einer rationalen Zahl in die Dezimaldarstellung erfolgt durch Division mit Rest.

Beispiel:: $\begin{array}{l} 600:22 = 27{,}27272\ldots = 27,\overline{27}\\ \underline{16}0\\ \quad \underline{6}0\\ \qquad \ldots \end{array}$

Satz:

Bei der Division mit Rest einer Zahl $m$ durch die Zahl $n$ mit ${}_{m,n\in\mathbb N}$ können als Rest nur die Zahlen ${}_{0,\ldots,n-1}$ auftreten.

Die Division muss hierbei entweder endlich sein oder in einer Periode mit einer Länge von höchstens $n - 1$ enden.

Satz:

Eine Dezimalzahl wird durch Umwandlung in eine Reihe in einen Bruch umgeformt.

Beispiel:: $27,\overline{27} = 27\,\left( 1 + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^4} + \ldots \right)$

Hierbei gilt

$1 + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^4} + \ldots = \left(\frac{1}{100}\right)^0 + \left(\frac{1}{100}\right)^1 + \ldots = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{100}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{1}{100}}$

Daraus erhält man

$27,\overline{27} = 27\,\frac{1}{1-\frac{1}{100}} = 27\,\frac{1}{0{,}99} = \frac{2.700}{99}$

mit

$\frac{2.700}{600} = 4{,}5;\ \frac{99}{4{,}5} = 22$

erhält man

$27,\overline{27} = \frac{2.700}{99} = \frac{600}{22}$

[Bearbeiten] Betrag rationaler Zahlen

Definition:

Der Betrag einer rationalen Zahl ${}_{x\in\mathbb Q}$ ist gegeben durch

$\left| x \right| = \begin{cases}\ \ x & \mathrm{wenn\ } x\le 0 \\ -x & \mathrm{wenn\ } x < 0 \end{cases}$

[Bearbeiten] rationale Intervallschachtelung

Definition:

Das Intervall ${}_{\left[ a,b \right]}$ mit ${}_{a,b\in\mathbb Q}$ und $a < b$ stellt alle Punkte auf der Zahlengeraden dar, welche sich zwischen den Endpunkten $a$ und $b$ befinden, sowie die Endpunkte $a$ und $b$ selbst. Die Intervalllänge $l$ des Intervalls ${}_{\left[ a,b \right]}$ ist gegeben durch $l = b - a$

Definition:

Als rationale Intervallschachtelung $S$ bezeichnet man eine Folge von von Intervallen der Form

$\forall n\in\mathbb N:\ \exists a_n,b_n \in\mathbb Q:\ \left[ a_n,b_n \right]$ ,

wobei jedes Intervall ${}_{\left[ a_n,b_n \right]}$ im vorhergehenden Intervall ${}_{\left[ a_{n-1},b_{n-1} \right]}$ enthalten ist:

$\forall n\in\mathbb N:\ a_{n-1} \le a_n < b_n \le b_{n-1}$ .

Die Längen der Folgen ${}_{l_n := b_n - a_n}$ rationaler Zahlen ${}_{\mathbb Q}$ konvergiert gegen Null.

Satz:

Die Längen der Intervalle in einer rationalen Intervallschachtelung ${}_{l_n := b_n - a_n}$ konvergiert in ${}_{\mathbb Q}$ gegen Null.

Satz:

Das Intervallschachtelungsaxiom besagt, dass es für eine rationale Intervallschachtelung $S$ nur ein einziger Punkt auf der Zahlengeraden existiert, welcher in allen Intervallen enthalten ist.

Satz:

Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau ein unendlicher Dezimalbruch.

Beweis:

Jedem Punkt $P$ auf der Zahlengeraden werden zwei Punkte ${}_{a_1}$ und ${}_{b_1}$ zugeordnet, wobei ${}_{a_1}$ links und ${}_{b_1}$ rechts von $P$ liegt:

a 1 < P < b 1

Man nähert nun den Punkt $R$ iterativ an den Punkt $P$ an:

$R_n := \frac{a_n + b_n}{2}$

$R_n < P:\quad a_{n+1} := R_n;\quad b_n+1 := b_n$

$R_n > P:\quad a_{n+1} := a_n;\quad b_n+1 := R_n$

$R_n = P:\quad m := n$ (Abbruchbedingung)

Dadurch wird eine rationale Intervallschachtelung ${}_{\left[ a_n,b_n \right]}$ mit ${}_{n\in\mathbb N}$ definiert, wobei jedes Intervall den Punkt $P$ enthält. Da zwei verschiedene Punkte verschiedenen Zahlen entsprechen ist die Zuordnung injektiv.

TODO: surjektive Intervallschachtelung

Beispiel:

Die rationale Intervallschachtelung kann etwa angewendet um ${}_\sqrt 2$ zu berechnen. Dazu definiert man ein Intervall, welches ${}_{x = \sqrt 2}$ enthält: