Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

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[Bearbeiten] Grundbegriffe

Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung $O$ und dem Radius $1$ .

Definition:

Ein Winkel $α$ entspricht einem Punkt $P$ auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richung $x$ und dem Strahl ${}_{\overline{OP}}$ .

Definition:

Das Bogenmaß $x$ stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten $(1,0)$ zum Punkt $P$ dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß ${}_{2\,\pi}$ .

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

$x = x\,\frac{{180}^{\circ}}{\pi} = \alpha\,\frac{\pi}{{180}^{\circ}} = \alpha$

Aufgrund der Periodizität des Kreises kann das Bogenmaß als reelle Zahl ${}_{x\in \mathbb R}$ betrachtet werden. Hierbei wird allen ${}_{\left\{ x+2\,n\,\pi \left| n\in \mathbb Z \right. \right\}}$ derselbe Punkt $P$ zugeordnet. Durch den Zusammenhang $x = α$ gilt dies analog auch für den Winkel. Eine Änderung des Bogenmaßes um ${}_{2\,\pi}$ ( ${}_{={360}^{\circ}}$ ) entspricht hierbei einem Umlauf auf dem Einheitskreis.

[Bearbeiten] trigonometrische Funktionen

[Bearbeiten] Sinus und Kosinus

Definition:

Die Kosinusfunktion $cos$ und die Sinusfunktion $sin$ werden wie folgt definiert:

$\cos:\ \mathbb R \rightarrow \left[ -1,1 \right],\quad x\mapsto \cos x$
$\sin:\ \mathbb R \rightarrow \left[ -1,1 \right],\quad x\mapsto \sin x$

Hierbei ist ${}_{(\cos x,\ \sin x)}$ der dem Bogenmaß $x$ entsprechende Punkt $P$ im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß $x$ ${}_{2\,\pi}$ -periodisch ist, sind auch $sin x$ und $cos x$ ${}_{2\,\pi}$ -periodisch.

Beweis:

$\cos (x + 2\,\pi) = \cos x$
$\sin (x + 2\,\pi) = \sin x$

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

$sin(x + π) = - sin x$
$cos(x + π) = - cos x$
$\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$
$\sin x = \cos \left( x - \frac{\pi}{2} \right)$

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

$sin x$ hat die Nullstellen

$\forall k\in\mathbb Z:\ x = k\,\pi$
$cos x$ hat die Nullstellen

$\forall k\in\mathbb Z:\ x = \left( k+\frac{1}{2}\right)\,\pi$

Satz:

$sin x$ ist ungerade:

$\sin x \ne \sin(-x)$
$cos x$ ist gerade:

$cos x = cos( - x)$

Satz:

$\forall x \in \mathbb R:\ \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Satz:

$\forall x \in \mathbb R:\ \left| \sin x \right| \le 1$
$\forall x \in \mathbb R:\ \left| \cos x \right| \le 1$

Wichtige Winkel
$x$	$sin x$	$cos x$
$0$	$0$	$1$
$\frac \pi 6$	$\frac 1 2$	$\frac \sqrt{3} 2$
$\frac \pi 4$	$\frac 1 \sqrt{2}$	$\frac 1 \sqrt 2$
$\frac \pi 3$	$\frac \sqrt{3} 2$	$\frac 1 2$
$\frac \pi 2$	$1$	$0$

Vorzeichen in den einzelnen Quadranten
Quadrant	$sin x$	$cos x$
$I$	$+$	$+$
$II$	$+$	$-$
$III$	$-$	$-$
$IV$	$-$	$+$

[Bearbeiten] Sinussatz

Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $α$ , $β$ und $γ$ der Zusammenhang

$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}$

gilt.

Beweis:

Sei ${}_{h_a}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt $A$ , welche normal auf die Seite $a$ steht. Der Punkt $A$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten $b$ und $c$ . Aus ${}_{\sin\gamma = \frac{h_a} b}$ und ${}_{\sin\beta = \frac{h_a} c}$ folgt ${}_{b\,\sin\gamma = c\,\sin\beta}$ .
Sei ${}_{h_b}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt $B$ , welche normal auf die Seite $b$ steht. Der Punkt $B$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten $a$ und $c$ . Aus ${}_{\sin\gamma = \frac{h_c} a}$ und ${}_{\sin\alpha = \frac{h_c} c}$ folgt ${}_{a\,\sin\gamma = c\,\sin\alpha}$ .
Sei ${}_{h_c}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt $C$ , welche normal auf die Seite $c$ steht. Der Punkt $C$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten $a$ und $b$ . Aus ${}_{\sin\alpha = \frac{h_c} b}$ und ${}_{\sin\beta = \frac{h_c} a}$ folgt ${}_{a\,\sin\beta = b\,\sin\alpha}$ .

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

[Bearbeiten] Kosinussatz

Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ , sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln $α$ , $β$ und $γ$ die Zusammenhänge

$a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,\cos\alpha$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2\,a\,c\,\cos\beta$
$c^2 = b^2 + a^2 - 2\,b\,a\,\cos\gamma$

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

[Bearbeiten] Additionstheoreme für Sinus- und Kosinusfunktion

Satz:

$\forall x,y\in \mathbb R\ :$

$\sin(x\pm y) = \sin x\,\cos y\pm\cos x\,\sin y$
$\cos(x\pm y) = \cos x\,\cos y\mp\sin x\,\sin y$
$\sin(2\,x) = 2\,\sin x\,\cos y$
$\cos(2\,x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
$2\,\sin^2 x = 1-\cos(2x)$
$2\,\cos^2 x = 1+\cos(2x)$
$2\,\cos x\,\cos y = \cos(x-y)+\cos(x+y)$
$2\,\sin x\,\cos y = \sin(x-y)+\sin(x+y)$
$2\,\sin x\,\sin y = \cos(x-y)-\cos(x+y)$
$\sin x\pm\sin y = 2\, \sin\frac{x\pm y}{2}\,\cos\frac{x\mp y}{2}$
$\cos y+\cos y = 2\,\cos\frac{x+y}{2}\,\cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x-\cos y = -2\,\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}$

Beweis:

TODO

[Bearbeiten] Tangens und Kotangens

Definition:

Der Tangens $tan$ ist wie folgt definiert:

$\forall k\in \mathbb Z:\ \tan:\ \left] -\frac{k\,\pi}{2},\frac{k\,\pi}{2} \right[ \to \mathbb R,\ x \mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$

oder

$\forall k\in \mathbb Z:\ \tan:\ \mathbb R\setminus\left( \pi\,k + \frac \pi 2 \right) \to \mathbb R,\ x \mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$

Definition:

Der Kotangens $cot$ ist wie folgt definiert:

$\forall k\in \mathbb Z:\ \cot:\ \left] k,k\,\pi \right[ \to \mathbb R,\ x \mapsto \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$

oder

$\forall k\in \mathbb Z:\ \cot:\ \mathbb R\setminus \left( k\,\pi \right) \to \mathbb R,\ x \mapsto \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$

Satz:

Tangens und Kotangens sind $π$ -periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

tan x = - tan( - x)

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

cot x = - cot( - x)

ungerade.

Satz:

$\cot x = \tan\left( \frac{\pi}{2}-x \right)$

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

$\tan(x\pm y) = \frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\,\tan y}$

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

$\cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$

Wichtige Winkel
$x$	$tan x$	$cot x$
$0$	$0$	$\left[ \infty , -\infty \right]$
$\frac\pi 6$	$\frac{1}{\sqrt 3}$	$\sqrt 3$
$\frac\pi 4$	$1$	$1$
$\frac\pi 3$	$\sqrt 3$	$\frac{1}{\sqrt 3}$
$\frac{\pi}{2}$	$\left[ \infty , -\infty \right]$	$0$

[Bearbeiten] Ungleichungen

Satz:

Es gilt die Ungleichung

$\forall x\in \mathbb R:\ \left| \sin x \right| \le \left| x \right|$

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

$x\in \left] 0,\frac{\pi}{2} \right[ :\ x \le \tan x$

Beweis:

TODO

[Bearbeiten] Stetigkeit der Winkelfunktionen

Satz:

Die Funktionen $sin x$ , $cos x$ , $tan x$ und $cot x$ sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion $tan x$ hat an den Stellen

$k\in\mathbb Z:\ x = k\,\pi + \frac\pi 2$

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion $cot x$ hat an den Stellen

$k\in\mathbb Z:\ x = k\,\pi$

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

[Bearbeiten] Arcus-Funktionen

Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Weben der Periodizität der trigonometrischen Funktionen sind diese nur auf Teilen der Definitionsbereiche umkehrbar.

[Bearbeiten] Arcus sinus

Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich ${}_{\left[ -\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right]}$ stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

$\arcsin:\ \left[ -1,1 \right] \to \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right],\ x\mapsto\arcsin x$

Satz:

Die Funktion $arcsin x$ ist stetig und streng monoton wachsend.

[Bearbeiten] Arcus cosinus

Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich ${}_{\left] 0,\pi \right[}$ stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

$\arccos:\ \left[ -1,1 \right] \to \left[ 0,\pi \right],\ x\mapsto\arccos x$

Satz:

Die Funktion $arctan x$ ist stetig und streng monoton fallend.

[Bearbeiten] Arcus tangens

Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich ${}_{\left] -\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right[}$ stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

$\arctan:\ \mathbb R \rightarrow \left] -\frac \pi 2, \frac \pi 2 \right[,\ x\mapsto \arctan x$

Satz:

Die Funktion $arctan x$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

$\lim\limits_{x\to\pm\infty} \left( \arctan x\right) = \pm\frac\pi 2$

Die Funktion $arctan x$ wird etwa benötigt um karthesische Koordinaten der Form $(x, y)$ in Polarkoordinaten der Form ${}_{(r,\varphi)}$ zu transformieren. Aus

$(x,y) = (r\,\cos\varphi,\ r\,\sin\varphi)$

folgt

$(r,\tan\varphi) = \left( \sqrt{x^2+y^2} , \frac{y}{z}\right)$

Bei der Bestimmung des Winkels ${}_{\varphi \in \left[ 0,2\,\pi \right) }$ muss man berücksichtigen in welchem Quadrant der Punkt $(x, y)$ liegt. Ist $n$ die Nummer des Quadranten und ${}_{\lfloor\ \rfloor}$ die Gaußklammer, so gilt:

$(r,\varphi) = \left( \sqrt{x^2+y^2} , \arctan\frac{y}{x} +\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\,\pi \right)$

[Bearbeiten] Potenzfunktionen

[Bearbeiten] allgemeine Potenzfunktion

Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis $x$ und dem Exponenten $y$ wird als

$y \mapsto x^y$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten $y$ bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

für ${}_{y\in \mathbb Z \land y > 0}$ ist ${}_{x^y}$ ein auf ${}_{\mathbb R}$ definiertes Polynom.
für ${}_{y\in \mathbb Z \land y < 0}$ ist ${}_{x^y}$ ein auf ${}_{\mathbb R\setminus 0}$ definierte rationale Funktion.
für $y = 0$ ist die Funktion gleich $1$ .
für ${}_{y\in \mathbb R \setminus Z \land y \ne 0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left[0,\infty\right)}$ .
für ${}_{y\in \mathbb R\setminus Z \land y < 0}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${}_{\left(0,\infty\right)}$ .

Satz:

Die Funktion ${}_{x^y}$ ist im Bereich $y < 0$ streng monoton fallend und im Bereich $y > 0$ streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^y}$ ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

[Bearbeiten] allgemeine Exponentialfunktion

Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis $x$ und dem Exponenten $y$ wird als

${\forall x \in\mathbb{R}} \land {x > 0}:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+},\ x\mapsto x^y$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis $x$ bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

$\forall x,y\in\mathbb R:\ x^a\, x^b = x^{a+b}$

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion ${}_{x^y}$ ist für

$x > 1$ streng monoton wachsend.
$x = 1$ konstant.
$x > 1$ streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf ${}_{\mathbb R}$ stetig.

Beweis:

Es gelten ${}_{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x^{\frac{1}{n}} = 1}$ und ${}_{\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x^{-\frac{1}{n}} = 1}$ .

Zu einem beliebigen $ε > 0$ gibt es daher eine natürliche Zahl ${}_{n := N(\epsilon) \in \mathbb N}$ , so dass für $x > 1$ der Zusammenhang

$1-\epsilon < x^{-\frac{1}{n}} < x^{\frac{1}{n}} < 1+\epsilon$

gilt.

Für ${}_{\left| y \right| < \frac{1}{n_\epsilon} = \delta(\epsilon)}$ folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

1 - ε < x y < 1 + ε

Die Funktion ${}_{x^y}$ ist somit an der Stelle $y = 0$ stetig.

Für ${}_{y\ne 0}$ schreibt man ${}_{x^{y'} = x^y\,x^{{y'}-y}}$ . Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.

Für ${}_{y\in \left] 0,1 \right[}$ folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von ${}_{y = \frac{1}{b}}$ mit ${}_{b\in\mathbb{R} \land b>1}$ .

Satz:

Es gilt:

$\forall x\in\mathbb R \land x > 1:$

$\lim\limits_{y\rightarrow \infty} x^y = \infty$

$\lim\limits_{y\rightarrow -\infty} x^y = 0$
$\forall x\in\mathbb R \land x \in \left] 0,1 \right[ :$

$\lim\limits_{y\rightarrow \infty} x^y = 0$

$\lim\limits_{y\rightarrow -\infty} x^y = \infty$

[Bearbeiten] allgemeiner Logarithmus

Da die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^x}$ mit ${}_{b\ne 1}$ das Intervall ${}_{\left] -\infty,\infty \right[}$ streng monoton auf das Intervall ${}_{\left] 0,\infty \right[}$ abbildet, existiert eine Umkehrfunktion, welche das Intervall ${}_{\left] 0,\infty \right[}$ auf ${}_{\left] -\infty,\infty \right[}$ abbildet.

Definition:

Es sei ${}_{b\in\mathbb R \land b > 0}$ . Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ${}_{b^x}$ ist definiert durch

$\log_b:\ \mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R,\ y\mapsto \log_b x$

und wird als Logarithmus zur Basis $b$ bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

$y = \log_b x \Leftrightarrow x = b^y$
$\forall x \in \left] 0,\infty \right[:\ b^{\log_b x} = x$
$\forall y \in \left] -\infty,\infty \right[:\ \log_b b^y = y$
$log b b = 1$
$log b 1 = 0$

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

$\log_b x + \log_b y = \log_b x\,y$ (Additionstheorem)
$\log_b x^y = y\,\log_b x$
$\log_b z = \log_a z\,\log_b a$

Beweis:

Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion ${}_{b^{x+y} = b^x \, b^y}$ wird der Exponent $x$ durch ${}_{\log_b x}$ und der Exponent $y$ durch ${}_{\log_b y}$ ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus

$b^{({\log_b x}+{\log_b y})} = b^{(\log_b x)} \, b^{(\log_b y)} = x\,y = b^{(\log_b x\,y)}$
Mit ${}_{r = \log_b y}$ folgt aus ${}_{(b^r)^x = b^{r\,x}}$ der Zusammenhang

$y^x = \left( b^{\log_b y} \right)^x = b^{x\,{(\log_b y)}}$
Ersetzt man in ${}_{\log_b a^y = y\,\log_b a}$ die Variable $y$ durch den Ausdruck ${}_{\log_a z}$ , so erhält man den Zusammenhang

$\log_b a^{\log_a z} = \log_b z = {\log_a z}\,\log_b a$

[Bearbeiten] natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logartithmus

Definition:

Die Funktion ${}_{e^x}$ bzw. $exp x$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

$\exp:\ \mathbb R \rightarrow \left] 0,\infty \right[,\ x\mapsto e^x$

Satz:

Die Funktion ${}_{e^x}$ ist auf dem gesamten Bereich ${}_{x\in\mathbb R}$ stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von ${}_{e^x}$ ist $ln x$ und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

$\ln:\ \left] 0,\infty \right[ \rightarrow \mathbb R,\ x \mapsto \ln x$

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

$ln1 = 0$
$\forall x\in \mathbb R:\ \ln e^x = x$ (Spezialfall: $\forall x\in \mathbb R:\ \ln e = 1$ )
$\forall x\in \mathbb R \land x > 0:\ e^{\ln x} = x$

Satz:

Über ${}_{x = e^{\ln x}}$ erhält man im Definitionsbereich ${}_{ \left] 0,\infty \right[ }$ für ${}_{x^y}$ den Zusammenhang ${}_{x^y = e^{y\,\ln x}}$ .

Satz:

Es gilt

$\forall x \in \left] 0,\infty \right[ :\ \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$

[Bearbeiten] Hyperbelfunktionen

Der Begriff „Hyperbelfunktion“ ist darin begründet, dass die Punkte

$t\in\mathbb R:\ (\cosh t,\sinh t)$

alle auf der Hyperbel

x 2 - y 2 = 1

liegen. Es handelt sich also um die Parameterdarstellung dieser Hyperbel.

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

[Bearbeiten] Cosinus hyperbolicus

Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

$\cosh :\ \mathbb R \rightarrow \left[ 1,\infty \right[ ,\ x \mapsto \frac{e^x + e^{-x}}{2} = -i\,\sin(i\,x)$

Cosinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion $cosh$ ist gerade.

Satz:

Die Funktion $cosh$ ist im Bereich ${}_{\left] -\infty,0 \right]}$ streng monoton fallend und im Bereich ${}_{\left[ 0,\infty \right[}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

$\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty} \cosh x = \infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \cosh x = \infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \cosh x = -\infty$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \cosh x = 1$
$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} \cosh x = -1$

[Bearbeiten] Sinus hyperbolicus

Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

$\sinh :\ \mathbb R \rightarrow \left] -\infty,\infty \right[ ,\ x \mapsto \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \cos(i\,x)$

Sinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion $sinh$ ist ungerade.

[Bearbeiten] Tangens hyperbolicus

Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

$\tanh :\ \mathbb R \rightarrow \left] -1,1 \right[ ,\ x \mapsto \frac{\sinh x}{\cosh x}$

Tangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion $tanh$ ist ungerade.

[Bearbeiten] Cotangens hyperbolicus

Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

$\coth :\ \mathbb R \setminus 0 \rightarrow \mathbb R\setminus \left[ 1,1 \right] ,\ x \mapsto \frac{\cosh x}{\sinh x}$

Cotangens hyperbolicus

Satz:

Die Funktion $coth$ ist ungerade.

[Bearbeiten] Additionstheoreme

Satz:

Es gelten ${}_{\forall x,y \in \mathbb R}$ die folgenden Additionstheoreme:

$cosh 2 x - sinh 2 x = 1$
$\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh(2\,x)$
$\cosh x \pm \sinh x = e^{\pm x}$
$\cosh(x \pm y) = \cosh x\, \cosh y \pm \sinh x\,\sinh y$
$\sinh(x \pm y) = \sinh x \, \cosh y \pm \cosh x \, \sinh y$

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

[Bearbeiten] Areafunktionen

Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

[Bearbeiten] Area sinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

$\operatorname{arsinh}:\ \mathbb R\rightarrow \mathbb R,\ x\mapsto \ln\left( x+\sqrt{x^2 + 1} \right)$

Beweis:

Da die Funktion $sinh$ auf ${}_{\mathbb R}$ streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

$\sinh x = \frac{1}{2}\,\left( e^x - e^{-x} \right)$

und

$x = \sinh y \Leftrightarrow x = \operatorname{arsinh\,} y$

folgt

$2\,x = e^y - e^{-y}$ .

Mit ${}_{e^y = z}$ und anschließender Multiplikation mit $z$ erhält man die quadratische Gleichung

$z^2-2\,x\,z-1=0$

mit den Lösungen

$z_{1,2}=x\pm\sqrt{x^2+1}$ .

Da $z > 0$ ist, gilt

$z = e^y = x+\sqrt{x^2+1}$ .

Daraus erhält man

$y = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ .

[Bearbeiten] Area cosinus hyperbolicus

Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall ${}_{\left[1,\infty\right[}$ und ist definiert durch

$\operatorname{arcosh}:\ \left[1,\infty\right[ \rightarrow \left[0,\infty\right[ ,\ x \mapsto \ln\left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$

Beweis:

Die Funktion $y = cosh x$ jeden Wert ${}_{y \in \left] 0,\infty \right[}$ zweimal an.

Auf dem Bereich ${}_{x \in \left[ 0,\infty \right[}$ ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen