Kurs:Physik für Techniker/Fehlerrechnung

Aus Wikiversity

Wikipedia: Fehlerrechnung – Artikel in der Online-Enzyklopädie

Mit Messgeräten und den dazugehörigen Messmethoden werden physikalische Größen zahlenmäßg erfasst. Die gemessenen Werte enthalten jedoch Fehler und können daher nur mit einer bestimmten Genauigkeit erfasst werden. Man unterscheidet hierbei zwischen systematischen und statistischen Fehlern.

Bei der Messung eines bestimmten Wertes erhält man die Gauß`sche Glockenkurve. Im Weiteren wird diese Verteilung angenommen.

[Bearbeiten] Mittelwert

Wikipedia: Mittelwert – Artikel in der Online-Enzyklopädie

Für eine endliche Zahl an Einzelmessungen ${}_{x_i}\,$ ist deren Mittelwert ${}_{\overline x}$ die beste Näherung für den wahren Wert ${}_{x_w}$ . Bei Messungen gleicher Qualität ist das arithmetische Mittel anzuwenden:

$x_w \approx \overline x = \frac{1}{n}\,\sum_{i=i}^{n}x_i$

Jede Messung weicht hierbei mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vom wahren Wert ab. Die Wahrscheinlichkeit ist hierbei das Verhältnis aller günstigen Fälle zu allen möglichen Fällen.

[Bearbeiten] Streuung

Wikipedia: Streuung – Artikel in der Online-Enzyklopädie

$s^2 = \frac{1}{n}\,\sum_{i=1}^{n}v_i^2$

[Bearbeiten] Standardabweichung

Wikipedia: Standardabweichung – Artikel in der Online-Enzyklopädie

$\sigma^2 = \frac{n}{n-1}\,s^2 = \frac{1}{n-1}\,\sum_{n}^{i=1} v_i^2$

mittlerer Fehler Δ x

$\Delta x = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Messergebnis y

$y = \overline x \pm \Delta x$

σ-Intervall

$y = \overline x \pm k\,\sigma$

Intervall	Wahrscheinlichkeit, dass x im Intervall ist
$\overline x \pm \sigma$	68,3%
$\overline x \pm 2\,\sigma$	95,4%
$\overline x \pm 3\,\sigma$	99,7%

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsdichte

Wikipedia: Wahrscheinlichkeitsdichte – Artikel in der Online-Enzyklopädie

$\psi(x) = \frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\,\pi}}\,e^{- \frac{(x-x_w)^2}{2\,\sigma^2}}$

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wikipedia: Wahrscheinlichkeitsverteilung – Artikel in der Online-Enzyklopädie

Die Wahrscheinlichkeit ${}_{P_{\alpha,\beta}}$ , die angibt ob sich ein Messwert x zwischen den Werten α und β befindet, ist durch

$P_{\alpha,\beta} = \int_{\alpha}^{\beta}\psi(x)\ dx = \frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\,\pi}} \, \int_\alpha^\beta e^{\frac{(x-x_w)^2}{2\,\sigma^2}}\ dx$

gegeben. Die Gesamtfläche unter der Gauß`schen Glockenkurve beträgt 1, da sich jeder Messwert zwischen ${}_{-\infty}$ und ${}_{+\infty}$ befindet:

$P_{-\infty,+\infty} = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)\ dx = \frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\,\pi}} \, \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{(x-x_w)^2}{2\,\sigma^2}}\ dx = 1$

Die Gauß`sche Glockenkurve wird insbesondere durch die Halbwertsbreite

$2\,\sigma\,\sqrt{2\,\ln 2}$

charakterisiert. Diese gibt die Breite der Gauß`schen Glockenkurve auf der halben Höhe

$\frac{1}{2\,\sigma\,\sqrt{2\,\pi}}$

an.

[Bearbeiten] Fehlerfortpflanzungsgesetz

Wikipedia: Fehlerfortpflanzung – Artikel in der Online-Enzyklopädie

$\sigma_y = \sqrt{\sum_{n}^{i=1} \left( \frac{\part y}{\part \xi_i}\, \sigma_i \right)^2 }$

oder

$\Delta y = \sqrt{\sum_{n}^{i=1} \left( \frac{\part y}{\part \xi_i}\, \Delta\xi_i \right)^2 }$

Kurs:Physik für Techniker/Fehlerrechnung

Aus Wikiversity

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Mittelwert

[Bearbeiten] Streuung

[Bearbeiten] Standardabweichung

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsdichte

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsverteilung

[Bearbeiten] Fehlerfortpflanzungsgesetz

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Suche

Navigation

Aktuell

Werkzeuge