Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt/Beweis

Beweis

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass wenn

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\xi _{i}=c\,$

gilt, dass dann auch

${}\sum _{i=1}^{n}(sa_{i})\xi _{i}=sc\,$

für jedes ${}s\in K$ gilt. Bei ${}s\neq 0$ kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit ${}s^{-1}$ rückgängig machen.

(6). Es sei ${}G$ die Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=c\,$

und ${}H$ die Gleichung

${}\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}=d\,.$

Wenn ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung ${}H'=G+H$. Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen ${}G$ und ${}H'$ erfüllt, so auch die Gleichung ${}G$ und ${}H=H'-G$.

Zur bewiesenen Aussage