Projekt:Mathematik ist überall/Aktuelles/Peirce-Zahlen

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Die Peirce-Zahlen (nach Charles S. Peirce; auch Peirce-Folge oder - mit der nötigen Vorsicht - Peirce-Kontinuum) bilden eine Zahlenmenge.

Der Begriff des Kontinuums ist in der modernen Mathematik umstritten und auch hier wird auf diese Problematik eingegangen. Die Interpretation als Folge darf zumindest als etabliert angesehen werden, sie ist dann aber dem allgemeinen Sprachgebrauch geschuldet. Folgen werden oft vereinfachend als geordnete Menge von Zahlen angesehen.

Die Peirce-Zahlen können als eine präzisere Fassung der rationalen Zahlen aufgefasst werden. Im Vordergrund stehen hier die Werte der Elemente und erst an zweiter Stelle deren Aufbau aus Zähler und Nenner.

In letzter Zeit rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Focus des allgemeinen Interesses. So gibt es interessante Untersuchungen auf den Gebieten der Zahlentheorie. Auch die nichtlineare Struktur von "geradlinigen Punktmengen" (Linien, nicht unbedingt euklidische Geraden) erscheint durch die Peirce-Zahlen in einem neuen Licht.

Geschichtliches[Bearbeiten]

Charles Sanders Peirce versuchte – inspiriert durch Cantor – ein Kontinuum zu erarbeiten. Im Gegensatz zu den Arbeiten Cantors basieren die Arbeiten von Peirce auf einer partikulären Betrachtung der Elementeigenschaften. Sein Ansatz nutzte die rationalen Zahlen als Ausgangspunkt und lautete:

Für irgendzwei Elemente a, b existiert stets ein Element c mit a < c < b.

Diese Betrachtungssweise von Problemen seitens Peirce ist auch in seinen Arbeiten zur Abdunktion zu erkennen.

PierceTimeLine.svg

Die Arbeiten von Peirce auf dem Gebiet des Kontinuumgedankens werden in zeitliche Abschnitte eingeordnet, um sein Schaffen mit dem von Cantor besser zu vergleichen [1].

Hier werden hauptsächlich die neueren Aspekte der Peirce-Folge betrachtet. Trotzdem ist die Parallelität zu den Arbeiten Cantors sehr wichtig. Die Inhalte und Konsequenzen beider Sichtweisen führen sehr tief in die Grundlagen der modernen Mathematik.

Argumente für ein Kontinuum[Bearbeiten]

Der von Peirce gezeigte generative Aufbau der Menge \mathbb V (V für Value) hat durchaus Parallelen zum Kontinuum von Cantor.

1. Argument 2. Argument 3. Argument
Die Abstände zwischen den Elementen werden infinitesimal klein (für Peirce noch ununterscheidbar klein, weil \frac 1 \infty = 0 zu seinen Lebzeiten durchaus üblich). Es ist ein treppenartiger Verlauf wie bei den Werten der Cantor-Menge vorhanden. Jede Menge, die eine Cantor-Menge enthält ist ein Kontinuum. Die Mächtigkeit nach n Generationen beträgt 2^n + 1 \ .

Das dritte ist das stärkste und verwirrendste Argument für ein cantorsches Kontinuum. Kurioserweise bezieht dieses Argument seine Stärke aus Cantors erstem Diagonalargument der Abzählbarkeit.


Unterschiede in den Ansätzen[Bearbeiten]

Peirce war auch Philosoph und dort vor Allem auf dem Gebiet der Logik tätig. Für ihn bestand zunächst kein Unterschied zwischen seiner Betrachtung und der Tatsache, dass auch Elemente aus  \mathbb Q stets die eben beschriebene Eigenschaft haben.

Das änderte sich spätestens mit Cantors Beweis zur Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Hier gibt es für jedes Element unendlich (präzise: abzählbar unendlich) viele mit gleichem Wert. So sind die Werte von


\frac 1 2 \, , \ \frac 2 4 \,  \, , \ \frac 3 6 \, ...

alle gleich. Die Elemente der Zahlenmenge  \mathbb Q sind aus \Z \times \Z aufgebaut. Cantor bewies mit seinem Zählverfahren auch, dass alle abzählbaren Mengen stets die Mächtigkeit (Betrag) der natürlichen Zahlen haben.

Cantors Herangehensweise war allgemein, die Menge betreffend, während Peirce die Partikeleigenschaften (Elemente der Menge) zum Ausgangspunkt machte. Die abduktive Herangehensweise von Peirce wurde dem Anspruch des Kontinuums nach seiner Überzeugung gerecht. Die Abduktion in dieser Form kann als Erweiterung der syllogistischen Logik angesehen werden.

Erst die Formulierung der Zermelo-Fraenkel-Axiomatik (ZFC) zeigt, dass Peirce kein Kontinuum im Cantorschen Sinne präsentierte.

Weil die ZFC aber bis heute nicht als völlig widerspruchsfrei bezeichnet werden kann, rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Vordergrund. Hier sei nur das Gebiet der Nichtstandardanalysis angeführt.

Erste Detaillierung[Bearbeiten]

Die rein partikuläre Betrachtung von Peirce bedurfte nun einer Umformulierung, denn die einfache Anwendung der Trichotomie ganzer Zahlen


a,b \in \Z \Rightarrow \left(\left( a <b \right) \or \left( a >b \right) \right)

ist in \mathbb Q nicht mehr gegeben.

Weil Peirce von den Elementen und ihren Eigenschaften auf die Menge (abduktiv) schließen wollte und das (für ihn) entscheidende Kriterium der Wert war, präsentierte Peirce eine abgewandelte Version. Außer dem Enthaltensein in  \mathbb Q muss auch Teilerfremdheit von Zähler und Nenner gegeben sein.


\mathbb V = \left\{ q=\frac z n : \left(n, z \in \Z\right) \and ggT(n, z) = 1 \right\}

Mit diesen Voraussetzungen ist die Unterscheidbarkeit der Elemente über ihre Werte gewährleistet. Auf die Feinheit, die 0 (Null) im Nenner auszuschließen verzichtete Peirce, denn zur Zeit seines Wirkens war es durchaus üblich eine Division durch 0 (Null) mit \infty als gültig anzusehen.

Damit sind auch die Werte aller Elemente unterscheidbar. Peirce konnte die Erschließung also weiter an den Eigenschaften orientieren, ohne auf seine anfängliche Forderung zu verzichten.


Erzeugung der Elemente[Bearbeiten]

Augustin Louis Cauchy

Peirce nutzte eine besondere Form der Addition, um die Elemente der Menge  \mathbb V zu erzeugen, die nach John Farey benannt ist. Ob Peirce die Addition aus der einzigen Veröffentlichung Fareys im Philosophical Magazine von 1816 zu diesem Thema entnahm darf bezweifelt werden, zumal Farey in seiner Veröffentlichung keinen Beweis für seine Behauptung lieferte.

Cauchy stieß auf Fareys Behauptung und erbrachte den fehlenden Beweis (Exercices de mathématiques, I, 114-116)). Offensichtlich wurde dem Beispiel Cauchys gefolgt, und die Entdeckung wurde allgemein Farey zugeschrieben.

Die erforderlichen Eigenschaften der Farey-Addition ergeben sich auch aus den Werken von Diophantos von Alexandrien. So gilt für jede Addition teilerfremder Zahlen


(ggT(a,b)=1) \and (a+b=c) \Rightarrow \left( ggT(a,c)=ggT(b,c)=1\right)

Peirce formulierte folgenden Ansatz, der analog zur Farey-Folge ist, jedoch ohne die dort vorhandene Einschränkung, dass der maximale Nenner die aktuelle Generation (in Farey-Folgen oft auch Ordnung genannt) nicht überschreiten darf.


\begin{matrix}
0: & \frac 0 1 \ \ \frac 1 0 \\
1: & \frac 0 1 \ \ \frac {\color{Red} 1} {\color{Red} 1} \ \ \frac 1 0 \\
2: & \frac 0 1 \ \ \frac {\color{Red}1} {\color{Red}2} \ \ \frac 1 1 \ \ \frac {\color{Red}2} {\color{Red}1} \ \ \frac 1 0
\end{matrix}

Es zeigt sich, dass in jeder weiteren Generation die neuen (roten) Elemente aus der Addition von Zähler und Nenner der unmittelbar benachbarten Elemente gebildet werden. Die Übereinstimmung mit der Farey-Folge ist bis zur 3ten Generation gegeben. Ab der 4ten Generation gilt für die Farey-Folge die Einschränkung, dass der Nenner  n_e \ irgendeines Elements die Generationsnummer  N \ nicht übersteigen darf.

Um im Kontext zum Cantorschen Kontinuum zu bleiben, werden die Peirce-Zahlen ab jetzt nur im Intervall [0 ...1] betrachtet. Das ist ohne Probleme möglich, weil das Element \frac 1 1 ein sog. Symmetrieelement ist. Es handelt sich dabei um eine Eigenschaft der Peirce-Zahlen bzw. der Peirce-Folge. Für Elemente mit gleichem Abstand von diesem zentralen Element gilt stets folgende Beziehung:

Sei e_l \ das linksseitige und e_r \ das rechtsseitige Element, dann gilt:


e_l = \frac 1 e_r

Damit kann die Vorschrift zur Erzeugung schon etwas reduziert werden. Statt des rechtsseitigen Elements  \frac 1 0 genügt nun das Element  \frac 1 1. Die Vorschrift für die einzelnen Generationen bleibt erhalten.

Auf eine Erweiterung des Intervalls wird bei Bedarf jeweils ausdrücklich hingewiesen.


Umformulierung der Farey-Addition[Bearbeiten]

Die Folge wird als (geordnete) Menge \mathbb V_g interpretiert. Dabei ist g die jeweilige Generation, beginnend bei 0 (Null).


\mathbb V_0 = \left\{ \frac 0 1 , \frac 1 1 \right \}


\mathbb V_1 = \left\{ \frac 0 1 , \frac 1 2 , \frac 1 1 \right \}


\mathbb V_2 = \left\{ \frac 0 1 , \frac 1 3 , \frac 1 2 , \frac 2 3, \frac 1 1 \right \}


\mathbb V_3 = \left\{ \frac 0 1 ,\frac 1 4 , \frac 1 3 , \frac 2 5 , \frac 1 2 , \frac 3 5 , \frac 2 3, \frac 3 4 , \frac 1 1 \right \}

Die Ordinalzahl eines Elements sei i. Damit ergibt sich folgende allgemeine Indizierung der Elemente q und deren Komponenten n, z:


q_{\left(g,i\right)} = \frac {z_{\left(g,i\right)}} {n_{\left(g,i\right)}}

Für die Elemente der Folgegeneration g+1 ergibt sich die vereinfachte Berechnung:


q_{\left(g+1,i\right)} = \frac {z_{\left(g,i\right)}} {n_{\left(g,i\right)}+z_{\left(g,i\right)}}

Damit ist die Folgegeneration im Intervall \left[0 ... \frac 1 2\right] vollständig bestimmt. Für \frac 1 2 gilt ebenfalls eine Symmetrie. Sei i die Ordinalität dieses Elements, dann gilt für die rechtsseitigen Elemente der neuen Generation g+1 mit dem Abstand a zum Symmetrieelement:


q_{\left(g+1,i+a\right)} = 1 - \frac {z_{\left(g+1,i-a\right)}} {n_{\left(g+1,i-a\right)}} = \frac {n_{\left(g,i-a\right)}+z_{\left(g,i-a\right)}-z_{\left(g,i-a\right)}}
{n_{\left(g,i-a\right)}+z_{\left(g,i-a\right)}}=
\frac {n_{\left(g,i-a\right)}}
{n_{\left(g,i-a\right)}+z_{\left(g,i-a\right)}}

Jetzt ist das gesamte Intervall [0 ... 1] bestimmt.

Durch die Interpretation als geordnete Menge kann die Angabe der Ordinalzahl entfallen und durch eine Fallunterscheidung ersetzt werden.


q_{g+1} =
\begin{cases}
\frac {z_{g}} {n_{g}+z_{g}} \, , & q_g < \frac 1 2 \\
\frac {n_{g}} {n_{g}+z_{g}} \, , & q_g > \frac 1 2
\end{cases}

Nur ein Element genügt[Bearbeiten]

Die Brüche werden im wesentlichen nur durch die Addition von Zähler und Nenner bestimmt. Alles weitere ergibt sich aus den unterscheidbaren Symmetrieen. Durch dieses Verfahren ist es möglich, alle Elemente der Peirce-Folge aus nur einem Anfangselement herzuleiten. Das Anfangselement sei \frac 1 1. Alle linksseitigen Elemente nähern sich dem Wert 0 (Null) und alle rechtsseitigen  \infty an.

Sei  q = \frac  n z \in \mathbb V \and q < 1 , dann dann ist es linksseitig von 1. Für die Berechnung des entsprechenden rechtsseitigen Elements gilt:


\frac z n + 1 = \frac z n + \frac n n = \frac {n+z} n

Die Fallunterscheidung enthält ebenfalls die Summe von Zähler und Nenner. Im ersten Fall wird aber der Zähler beibehalten. Die Umformung des ersten Falls ergibt mit der Addition von 1 und der Bildung des Kehrwertes


\frac {z} {n+z} =
\frac 1 {\frac {n+z} z} =
\frac 1 {\frac n z + \frac z z} =
\frac 1 {\frac n z + 1} =
\frac 1 {\frac 1 {\frac z n} + 1} =
\frac 1 {\frac 1 q + 1}

Damit kann auch der zweite Fall umgeformt werden.


1 - \frac {z} {n+z} =
\frac {n} {n+z}=
\frac 1 {\frac {n+z} n} =
\frac 1 {\frac z n + \frac n n}=
\frac 1 {\frac z n + 1} =
\frac 1 {q + 1}

Für das Intervall \left[ 0 ... \infty \right] sind insgesamt vier Fälle zu unterscheiden.


q_{g+1} =
\begin{cases}
\frac 1 {\frac 1 {q_{g}} + 1} \, , & q_g \in \left[ 0 ... \frac 1 2 \right] \\
\frac 1 {{q_{g}} + 1} \, , & q_g \in \left[ \frac 1 2 ... 1 \right] \\
q_g + 1 \, , & q_g \in \left[ 1 ... 2 \right] \\
\frac 1 {q_{g}} + 1 \, , & q_g \in \left[ 2 ... \infty \right]
\end{cases}

Die gesamte Entwicklung der Peirce-Folge und damit natürlich auch der Farey-Folge kann allein aus dem Startelement \frac 0 1 über elementare Bruchrechnung erfolgen.

Wird mit \frac 1 1 als Startelement begonnen, nähern sich die Werte den Intervallgrenzen 0 und \infty an, ohne sie zu nach endlich vielen Schritten zu erreichen. Werden aber abzählbar unendlich viele Schritte ausgeführt (Cantors Beweis der Abzählbarkeit von \mathbb Q), werden auch diese erreicht.

Interessant ist, dass die Entwicklung der Peirce-Folge ähnlich beginnt wie Peano die natürlichen Zahlen axiomatisierte. In beiden Entwicklungen wird mit 1+1 (oder 0+1, wenn 0 Element der Menge sein soll) begonnen.


Eigenschaften der Peirce-Zahlen[Bearbeiten]

Die Eigenschaften der Peirce-(Zahlen)Folge sind abhängig von der Interpretation. Als geordneten Menge von Elementen handelt es sich um benachbarte Individuen. Diese Interpretation wird auch bei den natürlichen Zahlen verlangt, sofern sie über die Peano-Axiome erzeugt werden.

Die folgenden Abschnitte zeigen einige Eigenschaften. Auch die Widerlegung der Vermutung, es handele sich um ein Kontinuum, erfolgt über die hier beschriebenen Eigenschaften.

Monotonie[Bearbeiten]

Durch die Erzeugungsvorschrift von Peirce ergibt sich ein streng monotoner Verlauf der Elemente. In diesem Fall ist es einfacher und formal sogar korrekter, von einer Folge zu sprechen.

Sei e_i \ ein Element der Peirce-Folge mit Index i. Es gilt stets:


e_{i-1}<e_i<e_{i+1} \, ; \ i \in \N

Dichte[Bearbeiten]

Die Dichte meint den Abstand von zwei unmittelbar benachbarten Elementen. Sie wird durch einfache Bildung der Differenz ermittet.


d_{i-1} = \frac {z_i} {n_i} - \frac {z_{i-1}} {n_{i-1}} = \frac 1 {n_i \cdot n_{i-1}} \, ; \ i \in \N

Die Dichte ist nicht konstant. Folgende Abbildung zeigt die Änderung der Differenzen. Zur besseren Veranschaulichung wurden die einzelnen Punkte miteinander verbunden.

Differenzen

Teufelstreppe als Argument für ein Kontinuum[Bearbeiten]

Eine Untersuchung der Werte zeigt einen treppenartigen Verlauf, der mit dem der Cantor-Menge (ein weiteres Kontinuum) weitgehend übereinstimmt. In der modernen Mathematik gilt, dass

jede Zahlenmenge, die eine Cantor-Menge enthält, ein Kontinuum ist.

In der Umsetzung ergibt sich folgende Darstellung, wobei wieder die Punkte durch Linien verbunden sind:

Teufelstreppe

Es handelt sich um die sog. Teufelstreppe. Die Darstellung der Werte erfolgt in Abhängigkeit der Ordinalzahlen. An den entsprechenden Positionen befindet sich jeweils eine Peirce-Zahl, deren jeweiliger Wert entlang der senkrechten Achse aufgetragen ist.

Summen der Differenzen[Bearbeiten]

Die Summe aller Differenzen im Intervall [0 ... 1] ergibt stets 1.


\sum_{i=1}^{|\mathbb V|} {q_i - q_{i-1}} = \sum_{i=1}^{|\mathbb V|} {\frac 1 {n_i \cdot n_{i-1}}} = 1

Aus dieser Gleichung folgt für jeden Stammbruch q_s \ mit der Ordinalzahl s:


q_s = \sum_{i=1}^{s} {q_i - q_{i-1}} = \sum_{i=1}^{s} {\frac 1 {n_i \cdot n_{i-1}}}

Jeder Stammbruch in den Peirce-Zahlen ist eine Reihenentwicklung der Elementdifferenzen.

Ermittlung der Mächtigkeit[Bearbeiten]

Hier liegt eine Interpretation als geordnete Menge vor. Im Gegensatz zur Farey-Folge, wird bei Peirce jede Lücke (der Raum zwischen zwei benachbarten Elementen) gefüllt.

Bei Jeder neuen Generation kommen also genau so viele Elemente hinzu, wie Lücken vorhanden sind. Durch jedes neue Element entstehen aber wieder zwei Lücken, die in der nächsten Generation gefüllt werden müssen. Damit ergibt sich die Anzahl der Lücken über die Potenzen von 2 und ist abhängig von der Generation.

Um die Kontinuität zur Farey-Folge zu wahren, beginnt jetzt die Zählung der Generationen bei 0 (Null) und verwendet die Startelemente \mathbb V_0 = \left\{ \frac 0 1 , \frac 1 1 \right\} .

Sei l die Anzahl der Lücken und g die Generation, so ergibt sich


l = 2^g \

Die Anzahl der Elemente und damit die Mächtigkeit ergibt sich dann aus


|\mathbb V_g| = l + 1 = 2^g + 1

Mächtigkeit als Argument für ein Kontinuum[Bearbeiten]

Die Mächtigkeit(en) werden oft als weiteres Argument dafür genommen, dass die Peirce-Zahlen ein Kontinuum seien. Es ist tatsächlich eines der stärksten, denn es basiert auf Cantors Argumentation.

Die Generationen g der Peirce-Zahlen sind abzählbar, denn g \in \N. Würden nun die Generationen soweit gezählt, wie Cantor in seinem "ersten Diagonalargument" zählte, wäre die "letzte" Ordinalzahl \omega \ . Damit wären

 2^{\omega} + 1 \

Elemente vorhanden. Das würde bedeuten, dass diese Menge überabzählbar viele Elemente enthält und damit die Voraussetzungen eines Kontinuums erfüllt.

Entkräftung des Arguments "Mächtigkeit"[Bearbeiten]

Das oft als stärkstes Argument für ein Kontinuum angeführte Argument der Mächtigkeit |\mathbb V_{\omega}| = 2^{\omega} + 1, kann widerlegt werden.

Die Erzeugung der Peirce-Zahlen ist genaugenommen keine Folgenentwicklung sondern die Vereinigung zweier disjunkter Mengen. Dabei wird die zweite Menge aus der ursprünglichen erzeugt, wobei die angewendeten Operationen für die unterschiedlichen Elemente sorgen. Bei den Peirce-Zahlen und der Farey-Folge ist es die Farey-Addition.

Auch die Zahlenmenge \N - deren Abzählbarkeit wohl kaum in Zweifel gezogen wird – kann mit einem derartigen Verfahren erzeugt werden.


\mathcal N_0 = \left\{0\right\}

Zu jedem Element der Menge \mathcal N_g wird jetzt die Mächtigkeit der Menge addiert. Die Ergebnisse bilden die zweite Menge \mathcal N^'_g.


\mathcal N^'_0 = \left\{0 + |\mathcal N_0| \right\} = \left\{0 + 1\right\} = \left\{1\right\}

Die neue Menge \mathcal N_{g+1} wird nun aus


\mathcal N_1 = \mathcal N_0 \cup \mathcal N^'_0 = \left\{0\right\} \cup \left\{1\right\} = \left\{0, 1\right\}

Die "letzte" Generation \omega \ liefert denn auch das gewünschte Ergebnis


\N = \mathcal N_{\omega} \cup \mathcal N^'_{\omega}

Auch hier errechnet sich die Mächtigkeit aus 2^{\omega} \ . Damit ist aber nicht die Mächtigkeit des Kontinuums \aleph \ erreicht. Die einfache Nennung von 2^{\omega} \ hat nichts mit der Potenzmenge zu tun, deren Mächtigkeit 2^{ |\N| } ist. Eine Ordinalzahl – und sei es die "letzte" – ist bei unendlichen Mengen keine Kardinalzahl.

Hier, und auch bei der Erzeugung der Peirce/Farey-Zahlen, werden stets abzählbare Mengen vereinigt.

Die Vereinigung von abzählbaren disjunkten Mengen ergibt wieder eine abzählbare Menge.

Damit wird auch die Interpretation als einfache Folge entkräftet, was auch Auswirkungen auf die Farey-Folge hat.


Bezüge zur Zahlentheorie[Bearbeiten]

Hier sind zunächst die irrationalen Zahlen interessant. Weil Peirce von einem Kontinuum ausging, sollte es möglich sein auch irrationale Zahlen in der Menge \mathbb V zu finden. Natürlich ist das nicht der Fall, denn es wurde bereits gezeigt, dass \mathbb V nur abzählbar unendlich ist.

Trotzdem, oder gerade deswegen, sind die Peirce-Zahlen ein wertvolles Hilfsmittel bei der Untersuchung einiger Probleme der Zahlentheorie. So konnte eine Hülle der rationalen Werte ermittelt werden und die Erdös-Strauss-Vermutung auf eine sehr effektive Weise untersucht werden.

Die folgenden Abschnitte zeigen die Grundlagen, mit denen die Eigenschaften der Peirce-Zahlen für die genannten Bereiche nutzbar gemacht wurden.

Der Goldene Schnitt[Bearbeiten]

Der goldene Schnitt ist eine der interessantesten irrationalen Zahlen. Dieser Wert ist natürlich kein Element der Menge \mathbb V, aber ein Element aus \mathbb V kommt ihm nahe. Die Komponenten dieses Elements können als Hülle um die rationalen Werte angesehen werden, wie in den folgenden Darstellungen gezeigt.

Hier hat die Peice-Folge im Intervall [0 ... 1] ihre höchsten Dichten, die Differenz benachbarter Elemente ist also besonders klein. Die Voraussetzungen für diese Äußerung sind:

  1. Es existiert genau ein Element mit maximalem Zähler und Nenner.
  2. Die Position (Ordinalzahl) dieses Elements ist stets berechenbar.
  3. Dieses Element hat den goldenen Schnitt als Grenzwert.

Es ist einfacher das unter 1. genannte Element als "Maxelement" zu bezeichnen. Damit ist natürlich kein Maximalelement im Sinne eines Maximalwertes gemeint. Das Maxelement q_{max} der Generation g hat folgende Eigenschaften:


q_{max}= \frac {z_{max}} {n_{max}} \, ; \ 
z_{max} = max \left( z_i \right), \ n_{max} = max \left( n_i \right) \, ; \ 
i = 1 ... | \mathbb V_g|

Existenz des Maxelements[Bearbeiten]

In jeder Generation existiert genau ein Element mit den genannten "Max"-Eigenschaften. Das erklärt sich aus der Farey-Addition. Aus der Anfangssituation mit zwei Elementen ergibt sich der neue Zähler aus 0+1 und der neue Nenner aus 1+1.

Das neu hinzukommende Element ist \frac 1 2 . Außerdem ist dieses Element Nachbar des alten Maxelements \frac 1 1 . Die nächste Generation addiert wieder das aktuelle Maxelement mit dem vorherigen Maxelement und liefert \frac 2 3 .

Weil stets das aktuelle Maxelement mit dem vorangegangenen benachbart ist, muss das nächste Maxelement immer auch Nachbar des aktuellen sein. Damit kann es stets nur ein Maxelement pro Generation geben.

Positionierung des Maxelements[Bearbeiten]

Die Position des Maxelements muss auf die Mächtigkeit bezogen sein. Weil aber die Elementanzahl mit jeder Generation exponentiell zunimmt, muss erst die Positionierung innerhalb der Generationen bestimmt werden.

Der Unterschied zwischen Positionierung und Position besteht hier darin, dass unter Positionierung etwas absolutes zu verstehen ist und unter Position etwas relatives. Das Element \frac 0 1 \ hat (immer) die Positionierung 1 und auch immer die erste Position. Das Element \frac 1 1 \ hat die Positionierung 2^{g}+1 \ und die Position 1 \cdot |\mathbb V_g|.

Ausgehend von der Generation mit genau einer Lücke


\left\{ \frac 0 1 , {\color{Red} \mathbf{ \frac 1 1 } } \right\}

ergibt sich in der Folgegeneration


\left\{ \frac 0 1 , {\color{Red} \mathbf{ \frac 1 2 } } , \frac 1 1 \right\}

Die Position ist jetzt links vom alten Maxelement. Eine Generation weiter


\left\{ \frac 0 1 , \frac 1 3 , \frac 1 2 , {\color{Red} \mathbf{ \frac 2 3 } } , \frac 1 1 \right\}

ist sie rechts vom alten Maxelement. Außerdem ergibt sich ein wachsender Abstand von der unteren und oberen Intervallgrenze. Diese Abstände nehmen mit jeder weiteren Generation zu, aber in unterschiedlichem Maß.

Die Position ist durch die Anzahl der Lücken vor dem Maxelement bestimmt. Ihre Anzahl ist (1, 3, 5, 11, ...).

Sei f (Fehlstelle) die Anzahl der Lücken in jeder Generation, so kann f mit der Generation indiziert werden und es ergibt sich:

f_1 = 1         \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, = 1+ {\color{Red}0 \cdot 2} = 2 \cdot \left(1+0 \cdot 2 \right) - 1 = 1

f_2 = 1 + 2     \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, = 1+ {\color{Red}1 \cdot 2} = 2 \cdot \left(1+{\color{Blue}0 \cdot 2} \right) + 1=3

f_3 = 1 + 2 + 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, = 1+ {\color{Red}2 \cdot 2} = 2 \cdot \left(1+{\color{Blue}1 \cdot 2} \right) - 1= 5

f_4 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + {\color{Red}5 \cdot 2} = 2 \cdot \left(1+{\color{Blue}2 \cdot 2} \right) + 1= 11

Die Rekursion folgt dem allgemeinen Ansatz:

 f_0 \, = 1

 f_1 \, = 2 \cdot f_0 - 1 = 1

 f_2 \, = 2 \cdot f_1 + 1 = 3

 f_3 \, = 2 \cdot f_2 - 1 = 5

 f_4 \, = 2 \cdot f_3 + 1 = 11

Die generalisierte Form zur Bestimmung der dem Maxelement vorangehenden Lücken ergibt sich durch Entfernung von f_0 \ zu


f_g = 2 \cdot f_{g-1} + {\left(-1 \right)}^g \, ; \ g \in \N \setminus 0

Das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 hat seine Ursache ebenfalls in den Peirce-Zahlen.

Der Grenzwert[Bearbeiten]

Bei jeder neuen Generation wechselt das neue Maxelement seine Position zum alten. Das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 erklärt sich aus der Differenz von altem und neuem Maxelement.

Maxelemente werden wie alle anderen auch berechnet. Die Addition der Zähler und der Nenner benachbarter Brüche führt beim Maxlement zwangsläufig dazu, dass ein neues Maxelement stets unmittelbarer Nachbar des alten ist. Über die Generationen ergibt sich eine Folge von Maxelementen.


\frac 0 1 , \ \frac 1 1 , \ \frac 1 2 , \ \frac 2 3 , \ \frac 3 5 , \ \frac 5 8 , \ ...

Zähler und Nenner der Maxelemente entsprechen den Fibonacci-Zahlen. Die Quotienten dieser Folge von Maxwerten haben den bekannten Grenzwert:


\Psi= \frac {1 - \sqrt{5}} 2

Die Differenz zweier Elemente aus dieser Folge entspricht der Differenz der Maxelemente aus zwei aufeinander folgenden Generationen der Peirce-Zahlen.

Sei \frac {z_{g}} {n_{g}} das Maxelement der Generation g, so gilt für die Differenz:


\frac {z_{g}} {n_{g}} - \frac {n_{g}} {n_{g}-{z_{g}}}

Weil z_{g} \ und n_{g} \ aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind gilt:


\frac {z_{g}} {n_{g}} - \frac {n_{g}} {n_{g}-{z_{g}}} =
\frac {F_{g}} {F_{g+1}} - \frac {F_{g+1}} {F_{g+2}} =
\frac {\boldsymbol{{F_{g} \cdot F_{g+2}-F^2_{g+1}}}} {F_{g+1} \cdot F_{g+2}}

Der fett dargestellte Zähler ist die "Simpson"- oder auch "Catalan"-Identität. Hierbei gilt stets:


{F_{g} \cdot F_{g+2}-F^2_{g+1}} = {\left( -1 \right)}^g+1

Dadurch erklärt sich das alternierende Vorzeichen des Summanden 1 bei der Ermittlung der Position (vorheriger Abschnitt).

Position des Maxelements[Bearbeiten]

Für die Generationen g gilt, dass von der Farey-Entwicklung ausgegangen wird. Die Zählung beginnt bei 0 (null) mit zwei Startelementen, den Grenzen des Intervalls [0 ... 1].

Die Position des Maxelements in der Generation g p_g \ entspricht der Anzahl der Lücken plus 1. Sei f_g \ die Anzahl der Lücken, ergibt sich die Position aus


p_g = f_g + 1 \, ; \ g \in \N\setminus 0

Für die Ordinalzahl gilt  2 | p_g \ .

Werden mehrere Genrationen untersucht, so ergibt sich für die Position des Maxelements ungefähr \frac 2 3 \cdot |\mathbb V| . Wird die Parität der Generation g berücksichtigt, gilt für ungerade Generationen:


\frac {p_{g}} {|\mathbb V_g|} = \frac {p_{g}} {2^g + 1} = \frac 2 3 \, ; \ 2 \nmid g

Diese Beobachtung muss für alle ungeraden Generationen bewiesen werden. Hier wird das Verfahren der vollständigen Induktion benutzt. Der Nenner folgt dabei aus


|\mathbb V_g| = 2^g+1=2^g+2^0=2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+ ... +  2^1+2^0+2^1
.


Auch wenn der folgende Beweis recht einfach zu führen ist, steigt er etwas tiefer in die Mengentheorie ein. Die Generation g ist zwar eine natürliche Zahl, darf hier aber nicht als Ordinalzahl (für die Generationen) angesehen werden. Wäre sie Ordinalzahl, könnte sie bis  \omega \ laufen. Dann wäre der zu bestimmende Faktor auf die Mächtigkeit  2^{\omega} \ bezogen und damit sinnlos. Auch für einfaches  \omega \ ist der folgende Beweis nicht zulässig, denn es wären Berechnungen mit transfiniten Ordinalzahlen erforderlich.


Induktionsansatz mit g = 1 \


\frac {2^1} {2^0 + 2^1} = \frac 2 3
.

Induktionsschritt


\frac {\left(2^3-2^2\right)+2^1} {\left(2^2+2^1\right)+2^0 + 2^1}
= \frac 2 3
,

erfolgt wegen  2 | p_g \ von g auf g+2.

Induktionsschluß von g


\frac {2^g-2^{g-1}+2^{g-2}-2^{g-3} ... -2^{2}+2^1}
{2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+...+2^1+2^0+2^1}
= \frac 2 3

auf g + 2


\frac {2^{g+2}-2^{g+1}+2^g-2^{g-1}+2^{g-2}-2^{g-3} ... -2^{2}+2^1}
{2^{g+1}+2^g+2^{g-1}+2^{g-2}+2^{g-3}+...+2^1+2^0+2^1}
=\frac {2^{g+2}-2^{g+1}+2} {2^{g+1}+2^g+3}
=\frac {2 \cdot 2^g+2} {3 \cdot 2^g +3}
= \frac 2 3

qed.

Der goldene Schnitt gilt deshalb als Hülle der rationalen Werte, weil die Werte des rationalen Intervalls [0 ... 1] an dieser Stelle so aufgeteilt werden können, dass ihre Positionen in der Ebene erhalten bleiben. Damit sind interessante Einblicke in die verborgenen Strukturen der rationalen Werte möglich.

Die folgende Abbildung zeigt die Werte von 14 Generationen der Peirce-Folge. Weil das Maxelement eine Koordination nach Zähler und Nenner zulässt (hier haben beide Komponenten ihr Maximum in der Generation), ist der Ort von jedem Bruch auf dieser Ebene eindeutig bestimmt. Die dritte Koordinate ist der Wert des Elements. Die Darstellung wurde so gedreht, dass wenigstens ein Minimum an Struktur erahnt werden kann.

Werte aus Peirce

Die Ansicht wurde so gewählt, dass bereits die ungleichmäßige Verteilung deutlich wird. Wird diese "Wolke" auf die begrenzenden Ebenen des Darstellungsraums projiziert, ergeben sich weitere interessante Details (s.u.).

Ähnlichkeiten zur Eulerschen φ-Funktion[Bearbeiten]

Wegen der Forderung nach Teilerfremdheit bestehen Ähnlichkeiten zur Eulerschen φ-Funktion. Wie ähnlich zeigt folgende Abbildung:

Ähnlichkeiten zu Eulers Phi

Weitere Darstellungen[Bearbeiten]

Eine räumliche Darstellung gestattet eine weitere Übersicht. Hier werden 10 Generationen auf die drei Begenzungsebenen des Darstellungsraums gezeigt.

Alle Projektionen


Elemente als Kettenbrüche[Bearbeiten]

Der "goldene Schnitt" ist der einfachste aller Kettenbrüche \Psi = [0, \overline {1}]. Weil in der Peirce-Folge das Maxelement den "goldenen Schnitt" als Grenzwert hat, haben alle anderen Elemente kürzere Darstellungen.

Die Elemente von fünf Generationen werden in einer Tabelle zusammengefasst. Zur besseren Übersicht erfolgt die Kettenbruchdarstellung senkrecht unter dem jeweiligen Element von oben nach unten.

  \frac 0 1 \     \frac 1 6 \     \frac 1 5 \     \frac 2 9 \     \frac 1 4 \    \frac 3 {11} \   \frac 2 7 \    \frac 3 {10} \   \frac 1 3 \    \frac 4 {11} \   \frac 3 8 \    \frac 5 {13} \   \frac 2 5 \    \frac 5 {12} \   \frac 3 7 \     \frac 4 9 \     \frac 1 2 \     \frac 5 9 \     \frac 4 7 \    \frac 7 {12} \   \frac 3 5 \    \color{Red} {\frac 8 {13} } \   \frac 5 8 \    \frac 7 {11} \   \frac 2 3 \    \frac 7 {10} \   \frac 5 7 \    \frac 8 {11} \   \frac 3 4 \     \frac 7 9 \     \frac 4 5 \     \frac 5 6 \     \frac 1 1 \  
0
 
 
 
 
 
0
6
 
 
 
 
0
5
 
 
 
 
0
4
2
 
 
 
0
4
 
 
 
 
0
3
1
2
 
 
0
3
2
 
 
 
0
3
3
 
 
 
0
3
 
 
 
 
0
2
1
3
 
 
0
2
1
2
 
 
0
2
1
1
2
 
0
2
2
 
 
 
0
2
2
2
 
 
0
2
3
 
 
 
0
2
4
 
 
 
0
2
 
 
 
 
0
1
1
4
 
 
0
1
1
3
 
 
0
1
1
2
2
 
0
1
1
2
 
 
0
1
1
1
1
2
0
1
1
1
2
 
0
1
1
1
3
 
0
1
2
 
 
 
0
1
2
3
 
 
0
1
2
2
 
 
0
1
2
1
2
 
0
1
3
 
 
 
0
1
3
2
 
 
0
1
4
 
 
 
0
1
5
 
 
 
1
 
 
 
 
 

Kettenbrüche sind die eigentliche Basis der Peirce-Zahlen. Dabei wird auch eine Besonderheit der Kettenbrüche deutlich. Das Element  \frac 1 2 \ besitzt zwei unterschiedliche Darstellungen, die den Aufbau weiterer Elemente entscheidend beeinflussen.

Beginnend mit dem Element  q_g = \frac 1 1 \ gilt


q_g = \frac 1 1 = [0; \, 1] = 1


q_{g+1} = \frac 1 { 1 + \frac 1 1} = [0; \, 1, \, 1] = \frac 1 2


q_{g+2} = \frac 1 { 1 + \frac 1 { 1 + \frac 1 1}} = [0; \, 1, \, 1, \, 1] = \frac 2 3


q_{g+3} = \frac 1 { 1 + \frac 1 { 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 1}}} = [0; \, 1, \, 1, \, 1, \, 1] = \frac 3 5

Die Entwicklung zur "goldenen Zahl" ist deutlich. Allerdings ist dieser Kettenbruch um eine Stelle länger. Trotzdem ist das Element in beiden Fällen gleich  \frac 3 5 \ . Die Erklärung liegt im Ansatz der Kettenbruchentwicklung.

Die Intervalle der Peirce-Folge sind symmetrisch zu  \frac 1 2 \ . In jeder Generation mit diesem Symmetrieelement, muss eine unterschiedliche Entwicklung des Kettenbruchs angenommen werden.

Das Intervall sei 
\left[ 0 ... \frac 1 2 \right]

\left[ \frac 1 2 ... 1 \right]

Wegen der Symmetrie gilt für alle Elemente auch


1 - q^{ \left( r \right)}_g = q^{ \left( l \right)}_g
; mit (l) für linksseitig und (r) für rechtsseitig.

Für das Symmetrieelement ergeben sich die beiden unterschiedlichen, aber gleichwertigen Darstellungen:


1 - \frac 1 2 = \frac 1 2
oder als Kettenbruch: 
\left [ 0; \, 1, \, 1 \right ] = \left [ 0; \, 2 \right ]

Die weitere Entwicklung der Peirce-Zahlen setzt voraus, dass


q^{ \left( l \right)}_g = \left [ 0; \, 2 \right ]
und


q^{ \left( r \right)}_g = \left [ 0; \, 1, \, 1 \right ]
.

Diese beiden Kettenbrüche des einen Wertes  \frac 1 2 \ sind die eigentliche Grundlage der Peirce-Folge. Für die Berechnung der folgenden Generationen wird unterschieden zwischen


q_{g+1} =
\begin{cases}
\frac 1 {\frac 1 {q_{g}} + 1} \, , & q_g \in \left[ 0 ... \frac 1 2 \right] \\
\frac 1 {{q_{g}} + 1} \, , & q_g \in \left[ \frac 1 2 ... 1 \right] \\
\end{cases}

Bei  q_g \ wird jetzt von einem Kettenbruch ausgegangen. Sei \left[ 0; \, a_1, \, a_2, \, a_3, \ ...\right] , so ergibt die Anwendung des ersten Falls:


\frac 1 {\frac 1 {q_{g}} + 1} = \left[ 0; \, {\color{Red}\boldsymbol{\left( a_1+1 \right)}}, \, a_2, \, a_3, \ ...\right]

Im zweiten Fall


\frac 1 {\frac 1 {q_{g}} + 1} = \left[ 0; \, {\color{Red}\boldsymbol{1}}, \, a_1 \, a_2, \, a_3, \ ...\right]

Zur Unterscheidung der beiden Teilintervalle werden die Elemente mit dem zusätzlichen Index l für links und r für rechts versehen.


q^{ \left( l \right)}_{g+1} = \left [ 0; \, {\color{Red}\boldsymbol{\left( 2 + 1 \right)}} \right ]  = \left [ 0; \, 3 \right ] = \frac 1 3


q^{ \left( r \right)}_{g+1} = \left [ 0; \, {\color{Red}\boldsymbol{1}} , \, 1, \, 1 \right ] = \left [ 0; \, 1 , \, 1, \, 1 \right ] = \frac 2 3
.

Die Elemente werden als Mengenelemente aufgefasst, womit die Vereinigungsmenge gebildet werden kann. Dabei wird die vorhandene Ordnungsrelation (strenge Monotonie) berücksichtigt. Es ergibt sich:

  \frac 1 3 \     {\color{Red}\boldsymbol{\frac 1 2}} \     {\color{Red}\boldsymbol{\frac 1 2}} \     \frac 2 3 \  
0
3
 
 
0
2
 
 
0
1
1
 
0
1
1
1

Entsprechend der Fallunterscheidung können die weiteren Elemente ohne die doppelte Verwendung des Symmetrieelements erzeugt werden. Auf das rechte Symmetrieelement wird verzichtet. Zur Berechnung der Folgegeneration müssen die Elemente der aktuellen für beide Teilintervalle herangezogen.

Die linke Seite des Intervalls:


{\frac 1 3}^{ \left( l \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{3+1}\right] = \left[0; \, 4\right]= \frac 1 4


{\frac 1 2}^{ \left( l \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{2+1}\right] = \left[0; \, 3\right]= \frac 1 3


{\frac 2 3}^{ \left( l \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{1+1}, \, 1, \, 1 \right] = \left[0; \, 2, \, 1, \, 1\right]= \frac 2 5

Die rechte Seite des Intervalls:


{\frac 1 3}^{ \left( r \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{1} , \, 3\right] = \left[0; \, 1, \, 3\right]= \frac 3 4


{\frac 1 2}^{ \left( r \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{1} , \, 2\right] = \left[0; \, 1, \, 2 \right]= \frac 2 3


{\frac 2 3}^{ \left( r \right)}_{g+1} = \left[0; \, \boldsymbol{1} , \, 1, \, 1, \, 1 \right] = \left[0; \, 1, \, 1, \, 1, \, 1\right]= \frac 3 5

Nur wegen der Vollständigkeit wird die Vereinigungsmenge gebildet. Dabei ist der Verzicht auf die rechtsseitige Ausprägung des Symmetrieelements berücksichtigt.

  \frac 1 4 \     \frac 1 3 \     \frac 2 5 \     \frac 1 2 \     \frac 3 5 \     \frac 2 3 \     \frac 3 4 \  
0
4
 
 
 
0
3
 
 
 
0
2
1
1
 
0
2
 
 
 
0
1
1
1
1
0
1
2
 
 
0
1
3
 
 

Peirce(Farey)-Spuren[Bearbeiten]

Peirce-Spuren, oft auch Farey-Spuren genannt, werden oft zum Nachweis von Irrationalitäten über die Pellsche Gleichung herangezogen.

Die Verfolgung einer Spur durch die Generationen der Peirce-Zahlen erfolgt dort über ein System von Matrizen der Form

 
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \ 
R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \, , \ 
L=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Dabei beschreiben L \ und R \ den Weg durch die Generationen und das dort vorhandene Element L \ inks oder R \ echts der Lücke. So ergeben die Komponenten der Brüche, die sich dem goldenen Schnitt annähern aus


R \cdot L \cdot R \cdot ... = 
\begin{pmatrix}
f_{g+1} & f_{g} \\ 
f_{g+2} & f_{g+1} 
\end{pmatrix} \, ; \  f_{g}, f_{g+1}, f_{g+2} \in \mathbb F 
ibonacci-Zahlen

Diese Startbedingungen sind in der Matrix  R \ für die 0te Generation g vorhanden.

Den Weg zum goldenen Schnitt und seinem ganz kleinen Bruder zeigt die folgende Abbildung. Dabei werden nur die Lücken zwischen den Elementen beschritten. Damit soll auch gezeigt werden, dass nicht rationale Werte angestrebt werden.

Wege durch die Generationen

Die Multiplikation der Matrizen ergibt genau den "Ablauf" durch die Generationen. Mit entsprechenden Kombinationen der L-R-Multiplikationen sind Näherungen für beliebige irrationale Werte möglich.

Die Funktionsweise für eine beliebige Matrix A:


A \cdot L =
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{a_{11}} & {a_{12}+a_{11}} \\
{a_{21}} & {a_{21}+a_{22}}
\end{pmatrix}

und


A \cdot R =
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{a_{11}+a_{12}} & {a_{12}} \\
{a_{21}+a_{22}} & {a_{22}}
\end{pmatrix}

Es ergeben sich die Wege aus der Abbildung. Auch die doppelte Interpretation von  \frac 1 2 \ wird hier anschaulich.

Die L - R \ -Spuren führen ausschließlich durch Generationen der Peirce-Zahlen. Die Bezeichnung Farey-Spuren resultiert aus der sog. Farey-Addition (s.u.).

Offenbar können über die Peirce-Spuren auch irrationale Werte mit beliebiger Genauigkeit ermittelt werden. Die L-R-Sequenzen beginnen im Beispiel bei  \frac 1 2 \ . Es ist jedoch möglich den Bereich auf das Element  \frac 1 0 \ (nicht den Bruch, weil unzulässig!) auszudehnen. Das iterierende "L-R-Gleichungssystem" konvergiert trotzdem.


Häufige Fehlinterpretationen[Bearbeiten]

Leider wird die Peirce-Folge oft mit der Farey-Folge verwechselt. So werden Operationen und weiterführende Assoziationen oft einfach als "fareysch" attributiert, obwohl nur in den Peirce-Zahlen definiert.

Farey-Addition[Bearbeiten]

Die Farey-Addition ist in ihrer einfachen Verwendung


\frac {z^{(g)}_i} {n^{(g)}_i} \oplus \frac {z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_{i+1}}=
\frac {z^{(g)}_i+z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_i+n^{(g)}_{i+1}} \rightarrow \mathbb F^{(g+1)} ; \, \frac {z^{(g)}_i} {n^{(g)}_i} , \, \frac {z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_{i+1}} \in \mathbb F^{(g)}

nicht abgeschlossen. Erst die zusätzliche Berücksichtigung der sog. Ordnung (hier Generation) sichert die Abgeschlossenheit und Wohldefiniertheit.

Ford-Kreise[Bearbeiten]

Ford-Kreise der Farey-Reihe fünfter Ordnung

Leider gibt es auch fehlerhafte Verwendungen des Begriffs "Peirce-Folge". So ist die Erzeugung von Ford-Kreisen nur mit Elementen der Farey-Folge möglich. Bei der Peirce-Folge ergeben sich wegen der nicht vorhandenen Beschränkung des maximalen Nenners auf die aktuelle Generation falsche Radien. Die Kreise aus der Peirce-Folge würden sich schneiden.


Siehe auch[Bearbeiten]

Farey-Folge

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kontinuum und Konstitution der Wirklichkeit. KAPITEL 1, S. xxiv. Deutsche Nationalbibliothek: http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=97204521X

Literatur[Bearbeiten]

Autor Titel Verlag Jahr ISBN
Deiser Einführung in die Mengenlehre Springer 2002 ISBN=3-540-42948-4
Aigner, Ziegler Das Buch der Beweise Springer   3-540-40185-7
Ebbinghaus, Flum, Thomas Einführung in die Mathematische Logik Spektrum 2007 978-3-8274-1691-9
Gardner Mathematischer Karneval Ullstein 1993  
Basieux Die Architektur der Mathematik Rowohlt 2000 3-499-61119-8
Schark Konstanten in der Mathematik - variabel betrachtet Harri Deutsch 2007 3-8171-1231-9

Quellen[Bearbeiten]

http://plato.stanford.edu/entries/peirce/

http://www.peirce.org/