Topologie und Geometrie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition (Gitter)
2 Definition (konvexe Teilmenge)
3 Definition (konvexe Hülle)
4 Definition (Grundmasche)
5 Definition (Zentralsymmetrisch)

Definition (Gitter)

Seien $v_1, \ldots , v_n$ linear unabhängige Vektoren im $\R^n$ . Dann heißt die Untergruppe $\Z v_1 \oplus \ldots \oplus \Z v_n$ ein Gitter im $\R^n$ .

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter.

Definition (konvexe Teilmenge)

Eine Teilmenge $T \subseteq \R^n$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q \in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q \mbox{ mit } r \in [0,1] \, ,$

ebenfalls zu

T

gehört.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren:

Definition (konvexe Hülle)

Zu einer Teilmenge $U \subseteq \R^n$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge $T$ , die $U$ umfasst, die konvexe Hülle von $T$ .

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die $U$ umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus $U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht.

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_1, \ldots , v_n$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $e_1v_1 + \ldots +e_nv_n$ mit $e_i \in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren $v_1, \ldots ,v_n$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

$r_1v_1 + \ldots + r_nv_n \mbox{ mit } r_i \in [0,1] \,$

Wir werden die Grundmasche häufig mit $\mathfrak M$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt $P$ nennt man die Menge $P+ {\mathfrak M}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt $Q \in \R^n$ hat eine eindeutige Darstellung $Q=t_1v_1 + \ldots + t_nv_n$ und damit ist $Q = (\lfloor t_1 \rfloor v_1 + \ldots + \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 + \ldots + (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n)$ , wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.