Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Richtungen ${}(1)\Rightarrow (2)$, ${}(2)\Rightarrow (3)$ und ${}(3)\Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. ${}(4)\Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage ${}(3)$ klar, sei also ${}v\neq 0$. Dann besitzt ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$ die Norm ${}1$ und wegen

${}\varphi (v)=\varphi {\left(\Vert {v}\Vert {\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}=\Vert {v}\Vert \varphi {\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}\,$

ist

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert \,.$

${}(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage