Vektorraum/Basis/Dualbasis/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

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