Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring R:

1. Für jedes Element a gilt 1 | a und a | a.
2. Für jedes Element a gilt a | 0.
3. Gilt a | b und b | c, so gilt auch a | c.
4. Gilt a | b und c | d, so gilt auch ac | bd.
5. Gilt a | b, so gilt auch ac | bc für jedes .
6. Gilt a | b und a | c, so gilt auch a | rb + sc für beliebige Elemente .

Zeige, dass in einem kommutativen Ring R folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. − 1 ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind a und b assoziiert, so gilt a | c genau dann, wenn b | c.
4. Teilt a eine Einheit, so ist a selbst eine Einheit.

Zu einer natürlichen Zahl n bezeiche T(n) die Anzahl der positiven Teiler von n. Zeige die folgenden Aussagen über T(n).

a) Sei die Primfaktorzerlegung von n. Dann ist

b) Für teilerfremde Zahlen n und m gilt T(nm) = T(n)T(m).

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von 20!.

Finde einen Primfaktor der Zahl 2²⁵ − 1.

Sei R ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Multiplikation mit f, also die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus von (R, + ,0) ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann f ein Nichtnullteiler und wann f eine Einheit ist.