Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 12

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl q modulo unendlich vieler Primzahlen p ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge

sowohl in 1 als auch in 0 einen Häufungspunkt besitzt.

Beweise die Aussage des Korollars, dass

ist, mit Hilfe des Divergenzsatzes für die Produktdarstellung der Riemannschen ζ-Funktion.

Bestimme anhand des Beweises der Abschätzungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für c mit .

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für x hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen x und x² als zwischen 1 und x gibt.

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.

Finde die kleinste Primzahl p derart, dass es in ein Element a gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch = − 1 ist.