Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe (3 Punkte)
2 Aufgabe (2 Punkte)
3 Aufgabe (1 Punkt)
4 Aufgabe (2 Punkte)
5 Aufgabe (3 Punkte)
6 Aufgabe (4 Punkte)
7 Aufgabe (3 Punkte)
8 Aufgabe (3 Punkte)
9 Aufgabe (2 Punkte)
10 Aufgabe (2 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1 \, .$

Aufgabe (2 Punkte)

Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn die Stammbruchsummenbedingung

$\sum_{d{{|}} n,\, d \neq 1} \frac{1}{d} = 1 \,$

gilt. Schreibe für einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.

In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen.

Eine natürliche Zahl $n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als $2 n$ ist.

Eine natürliche Zahl $n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als $2 n$ ist.

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige: eine Primzahlpotenz $p r$ ist defizient.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $n > 6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Dann ist $n$ defizient.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Dann ist $n$ defizient.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine ungerade abundante Zahl $n$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die kleinste sonderbare Zahl.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Quotient

$\frac{\sigma(n)}{n} \,$

unbeschränkt ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen $220$ und $284$ befreundet sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle um weitere Zeilen (pro richtige Zeile ein Punkt, maximal zwei).

$k$	$a = 3 \cdot 2^{k-1} -1$	$b= 3 \cdot 2^k -1$	$c =9 \cdot 2^{2k-1} -1$	$m = 2 k a b$	$n = 2 k c$
$2$	$5$	$11$	$71$	$220$	$284$
$3$	$11$	$23$	$287 =7 \cdot 41$ (nicht prim)
$4$	$23$	$47$	$1151$ (prim)	$17296$	$18416$
$5$	$47$	$95$	$4607 = 17 \cdot 271$ (nicht prim)
$6$	$95=5 \cdot 19$ (nicht prim)	$191$	$18431 = 7 \cdot 2633$ (nicht prim)
$7$	$191$	$383$	$73727$	$9363584$	$9437056$