Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

Seien R und A kommutative Ringe. Zeige, dass A eine R-Algebra ist genau dann, wenn A ein R-Modul ist, für den zusätzlich gilt

Sei G eine kommutative Gruppen. Zeige, dass G auf genau eine Weise die Struktur eines -Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.

Sei (G, + ,0) eine kommutative Gruppe. Sei

die Menge der Gruppenhomomorphismen von G nach G (also die Gruppenendomorphismen auf G). Definiere auf E eine Addition und eine Multiplikation, so dass E zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Sei (M, + ,0) eine kommutative Gruppe und sei der zugehörige Endomorphismenring. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine R-Modulstruktur auf M äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus .

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass G zyklisch ist.

Sei R ein Integritätsbereich und K ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.

Seien R und S kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in S. Zeige, dass das Urbild ein Primideal in R ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Seien R ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in R. Zeige: ist ein maximales Ideal genau dann, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit rg + f = 1.

Zeige (ohne Betrachtung von Restklassenringen), dass ein maximales Ideal ein Primideal ist.

Sei R ein kommutativer Ring und sei I ein Ideal mit dem Restklassenring S = R / I. Zeige, dass die Ideale von S eindeutig denjenigen Idealen von R entsprechen, die I umfassen.

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes selbst wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.