Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

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In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom F \in \Z[X] heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von F teilerfremd sind.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe (1 Punkt)

Sei F \in \Z[X] ein Polynom. Zeige, dass man F schreiben kann als F=n \tilde{F} mit n \in \mathbb N und primitivem \tilde{F}.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien F,G \in \Z[X] primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt FG primitiv ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei F \in \Z[X] ein irreduzibles Polynom. Dann ist F, aufgefasst als Polynom in \mathbb Q[X], ebenfalls irreduzibel.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein normaler Integritätsbereich und R \subseteq S eine ganze Ringerweiterung. Sei f \in R. Zeige, dass für das von f erzeugte Hauptideal gilt:

R \cap (f)S = (f)R \, .


Aufgabe (5 Punkte)

Sei R=\Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1). Bestimme die Primideale in R, die über den Primzahlen p = 2,3,5,7 liegen.


Aufgabe (3+ Punkte)

Sei p eine Primzahl und betrachte die Körpererweiterung

\mathbb Q \subset L={\mathbb Q}[X]/(X^3-p) \,
vom Grad 3. Sei f=aX^2+bX+c \in L ein Element davon mit a,b,c \in \mathbb Q. Berechne das Minimalpolynom von f und gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von f.

Welche Bedingungen an a,b,c ergeben sich aus der Voraussetzung, dass f ganz über \mathbb Z ist?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Dedekindbereich und seien \mathfrak p und \mathfrak q verschiedene Primideale \neq 0. Dann gibt es einen Ringisomorphismus

R/\mathfrak p \cap \mathfrak q \longrightarrow R/{\mathfrak p} \times R/{\mathfrak q} \, .


Die folgende Aufgabe benutzt das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen {\mathfrak a} und {\mathfrak b} in einem kommutativen Ring wird das Produkt definiert durch

{\mathfrak a}{\mathfrak b}= \{a_1b_1 +a_2b_2+ \ldots + a_kb_k\} mit a_i \in {\mathfrak a} , b_i \in {\mathfrak b}.
Das ist das Ideal, das von allen Produkten ab (a \in {\mathfrak a} , b \in {\mathfrak b}) erzeugt wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei R ein Dedekindbereich und seien \mathfrak p und \mathfrak q zwei verschiedene Primideale. Dann ist

\mathfrak p \cap \mathfrak q ={\mathfrak p} \cdot {\mathfrak q} \, .


Aufgabe (2 Punkte)

Gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring \neq 0 unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring R ist noethersch genau dann, wenn es in R keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

{\mathfrak a}_1 \subset {\mathfrak a}_2 \subset {\mathfrak a}_3 \subset \ldots \,
gibt.
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