Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe (2 Punkte)
2 Aufgabe (2 Punkte)
3 Aufgabe (3 Punkte)
4 Aufgabe (2 Punkte)
5 Aufgabe (3 Punkte)
6 Aufgabe (max 4 Punkte)
7 Aufgabe (3 Punkte)
8 Aufgabe (2 Punkte)
9 Aufgabe (4 Punkte)
10 Aufgabe (7 Punkte)
11 Aufgabe (2 Punkte)
12 Aufgabe (3 Punkte)
13 Aufgabe (1 Punkt)
14 Aufgabe (1 Punkt)

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f \in R$ . Zeige, dass $N(f) \in (f)$ ist, dass also die Norm zum von $f$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f_1, \ldots ,f_n \in R$ eine $\Z$ -Basis von $R$ . Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${{|}}\triangle(f_1, \ldots , f_n){{|}} \,$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen

n

-Tupeln aus

R

.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f_1, \ldots ,f_n \in R$ eine $\Z$ -Basis von $R$ mit Diskriminante

$\triangle(f_1, \ldots , f_n) \, .$

Es sei $h \in R$ . Zeige, dass $hf_1, \ldots ,hf_n$ eine $\Z$ -Basis des Hauptideals

(h)

bildet und dass gilt:

$\min\{ {{|}}\triangle (b_1, \ldots, b_n){{|}} :\, (b_1, \ldots ,b_n) \, \Z\mbox{-Basis von } (h) \} = N(h)^2 {{|}}\triangle (f_1, \ldots , f_n){{|}} \, .$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Diskriminante der Gaußschen Zahlen. Gebe zwei wesentlich verschiedene $\Z$ -Basen von $\Z[i]$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Aufgabe (max 4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit $4,8,9,16,25,27,32,49,64,81,121,125$ und $132$ Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

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Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen (!) der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${\mathbb F}_9$ für jedes Element die multiplikative Ordnung. Gib insbesondere die primitiven Elemente an.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $p$ eine Primzahl und $e,d \in {\mathbb N}_+$ . Zeige: ${\mathbb F}_{p^{d} }$ ist ein Unterkörper von ${\mathbb F}_{p^{e} }$ genau dann, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.

Aufgabe (7 Punkte)

Sei $K$ ein Körper und $K \subset L$ eine Ringerweiterung vom Grad drei. Klassifiziere die möglichen Typen von $L$ , ähnlich wie in Lemma 19.9.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme im Polynomring $\Z/(2) [X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $2,3,4$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring $\Z/(3) [X]$ alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad $3$ .

Aufgabe (1 Punkt)

Sei $K$ ein Körper und sei $K [X]$ der Polynomring über $K$ . Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in $K [X]$ sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$ . Sei $F:K \rightarrow K$ der Frobenius-Homomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${\mathbb Z}/(p)$ invariant unter $F$ sind.

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Aufgabe (3 Punkte)

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Aufgabe (1 Punkt)

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