Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 2

Zeige mit Hilfe der Division mit Rest, dass jede (additive) Untergruppe von die Form besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht.

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung 78 cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung 126 cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen − 123,55 und − 49. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position 17 bzw. 109. Welche Flöhe können sich treffen?

Zeige: ein kommutativer Ring ist ein Körper genau dann, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Beweise folgende Aussagen für einen kommutativen Ring R.

1. Das Element a ist ein Teiler von b (also a | b) genau dann, wenn .
2. a ist eine Einheit genau dann, wenn (a) = R = (1).
3. Ist R ein Integritätsbereich, so gilt (a) = (b) genau dann, wenn a und b assoziiert sind.

Zeige, dass im Ring die Norm eine euklidische Funktion ist.

Sei R ein ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion δ. Zeige, dass ein Element () mit δ(f) = 0 eine Einheit ist.

Sei R ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element , , eindeutig darstellen lässt als f = upⁱ mit einer Einheit u und .

(2) R ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion , die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt.

(a) Es gilt δ(fg) = δ(f) + δ(g) für alle .

(b) Es gilt f genau dann, wenn für alle .

Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben?