Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 20
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Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere und beweise eine Version des Eulerschen Kriteriums für beliebige endliche Körper.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei q eine echte Primzahlpotenz und 
der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in 
jedes Element aus ein Quadrat ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung
![{\mathbb Q} \subset {\mathbb Q} [X]/(X^2+ \frac{3}{2}X - \frac{5}{7}) \, .](http://upload.wikimedia.org/math/e/e/9/ee9f3dad21d3eca65112fd751e2988fa.png)
Aufgabe (5 Punkte)
Sei D eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ![\Z \subset \Z[\sqrt{D}]](http://upload.wikimedia.org/math/3/a/f/3af38dafb36f76a2299be8c274238d89.png)
. Es sei p ein Primfaktor von D mit Exponent 1 und es sei vorausgesetzt, dass weder p noch − p ein Quadratrest modulo D / p ist. Dann ist p irreduzibel in ![\Z[\sqrt{D}]](http://upload.wikimedia.org/math/b/1/c/b1c474efcdb1fadd7701f031f1ed5ffe.png)
, aber nicht prim.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei ![R=\Z[\sqrt{7}]](http://upload.wikimedia.org/math/f/7/d/f7d94985fa5ba831514ea70f8e54741d.png)
. Bestimme die Primidealen in R die über p = 29 liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.
Aufgabe (4 Punkte)
Sei ![R=\Z[\sqrt{15}]](http://upload.wikimedia.org/math/f/5/0/f50da5a2254eb56e9d750ae6b56bed96.png)
. Bestimme die Primideale in R die über p = 17 liegen (gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?
{{inputaufgabe|Quadratische Erweiterungen von Z/Zwei Primideale in A_D über einem in Z (sqrt(D))/Beispiel/Aufgabe|2}
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme für die quadratischen Ganzheitsringe AD mit negativem D sämtliche Einheiten.
Aufgabe (1 Punkt)
Zeige, dass in das Element 
eine Einheit ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass 2 im Ring ![{\mathbb Z}[\sqrt{5}]](http://upload.wikimedia.org/math/b/8/d/b8d2bfe63b391eae482ca5dcb513e1cb.png)
irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in A5 aus?
