Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21
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Aufgabe (3 Punkte)
Sei H eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen 
. Zeige, dass entweder 
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen reellen Zahl a ist, oder aber H dicht in ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei p eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung ![{\mathbb Z}[ \sqrt{p}]](http://upload.wikimedia.org/math/5/6/3/5635c9a5ff7dccec9a954438652a7bd6.png)
. Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Charakterisiere für den Ring
![R=\Z[ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}] \cong \Z[Y]/(Y^2+Y+1) \,](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/9/9493ce7782381ac3ce57315892ce4129.png)
, die in R verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.Aufgabe (2 Punkte)
Sei ![A_{10}=\Z[\sqrt{10}]](http://upload.wikimedia.org/math/2/6/c/26c530b2651c0543c082f62f7698570c.png)
der quadratische Zahlbereich zu D = 10. Bestimme gemäß Satz 21.1 Satz 21.1 eine -Basis des Ideals 
und bestimme damit die Norm des Ideals.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich und 
mit 
. Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Satz 21.1) eine -Basis des Ideals (f) gibt mit β = 1.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei ![A_{-10}=\Z[\sqrt{-10}]](http://upload.wikimedia.org/math/0/5/7/05744f74cf34f6a6b76a51747a3e67a0.png)
der quadratische Zahlbereich zu D = − 10. Zeige, dass das Ideal 
ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei R ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , 
, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei 
ein Ideal in einem kommutativen Ring R. Zeige, dass ein Primideal ist genau dann, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus 
in einen Körper K ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei R ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring 
noethersch ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei R ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in R gibt.
Aufgabe (6 Punkte)
Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von A über B durch einen Pfeil von A nach B (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.
Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?
