Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 22

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe (5 Punkte)

Sei R ein kommutativer Ring und S \subseteq R ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

R_S \,
schrittweise wie folgt. Es sei zunächst M die Menge der formalen Brüche mit Nenner in S, also
M= \{ \frac{r}{s},\, r \in R, \, s \in S\} \, .
Zeige, dass durch
\frac{r}{s} \sim \frac{r'}{s'} \text{ genau dann, wenn es ein } t \in S \text{ gibt mit } trs' =tr's \,
eine Äquivalenzrelation auf M definiert ist. Wir bezeichnen mit RS die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf RS eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus R \rightarrow R_S.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien R und A kommutative Ringe und sei S \subseteq R ein multiplikatives System. Es sei \varphi : R \rightarrow A ein Ringhomomorphismus derart, dass \varphi(s) eine Einheit in A ist für alle s \in S. Zeige: dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

\tilde{\varphi}: R_S \longrightarrow A \, ,
der \varphi fortsetzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge aller Nichtnullteiler in R ein multiplikatives System bildet.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei R ein kommutativer Ring und f \in R. Zeige, dass f nilpotent ist genau dann, wenn die Nenneraufnahme Rf = 0 ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei D eine quadratfreie Zahl, sei R=\Z[\sqrt{D}] und sei AD der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass nach Nenneraufnahme von 2 ein Isomorphismus

R_2 \longrightarrow (A_D)_2 \,
vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien n und k teilerfremde Zahlen und sei \Z \subseteq R ein kommutativer Ring. Dann gibt es eine Isomorphie

R/(n) \cong (R_k)/(n) \, .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei R ein normaler Integritätsbereich und S \subseteq R ein multiplikatives System. Zeige, dass auch RS normal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Integritätsbereich, sei f \in R und sei \mathfrak a ein Ideal. Zeige, dass f \in \mathfrak a ist genau dann, wenn für alle Lokalisierungen R_{\mathfrak p} gilt, dass f \in {\mathfrak a}R_{\mathfrak p} ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei D eine quadratfreie Zahl, sei R=\Z[\sqrt{D}] und sei AD der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl p ein Isomorphismus

\Z[\sqrt{D}]/(p) \longrightarrow (A_D)/(p) \,
vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei p = 2 nicht sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Integritätsbereich und S \subseteq R ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in RS genau denjenigen Primidealen in R entsprechen, die mit S einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei R ein kommutativer Ring. Zeige, dass R genau dann ein lokaler Ring ist, wenn a + b nur dann eine Einheit ist, wenn a oder b eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise für einen diskreten Bewertungsring die Eigenschaften der Ordnung, die in Lemma 22.14 formuliert sind.

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