Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 23

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe (2 Punkte)

Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K = Q(R). Es sei R = \bigcap_{i \in I} R_i, wobei die R_i \subset K, i \in I, alle diskrete Bewertungsringe seien. Zeige: R ist normal.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei D quadratfrei und D=1 \mod 4. Finde in \Z[\sqrt{D}] ein Primideal \mathfrak p derart, dass die Lokalisierung an \mathfrak p kein diskreter Bewertungsring ist

.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Hauptdivisor zur Gaußschen Zahl 5 + 7i.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei R=\Z[\sqrt{-5}] = \Z \oplus \Z \sqrt{-5} der quadratische Zahlbereich zu D = − 5. Betrachte in R die Zerlegung

2 \cdot3 =(1+\sqrt{-5} )(1-\sqrt{-5}) \, .
Zeige, dass die beteiligten Elemente irreduzibel, aber nicht prim sind, und bestimme für jedes dieser vier Elemente die Primoberideale. Bestimme die Hauptdivisoren zu diesen Elementen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Zahlbereich und f,g \in R, f,g \neq 0. Zeige ohne Verwendung des Bijektionssatzes 23.11, dass die Hauptdivisoren \operatorname{div} (f) und \operatorname{div} (g) genau dann gleich sind, wenn f und g assoziiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Zahlbereich und sei f \in R, f \neq 0. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

f ist prim genau dann, wenn der zugehörige Hauptdivisor \operatorname{div} (f) die Gestalt 1 {\mathfrak p} mit einem Primideal {\mathfrak p} \neq 0 besitzt.

f ist irreduzibel genau dann, wenn \operatorname{div} (f) minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren \neq 0 ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei R ein Zahlbereich und sei f \in R gegeben als ein Produkt

f=u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r} \,
mit paarweise nicht assoziierten Primelementen pi und einer Einheit u. Dann gilt für den zugehörigen Hauptdivisor die Gleichheit
\operatorname{div} (f) = {\nu_1} (p_1) + \ldots + {\nu_r} (p_r) \, ,
wobei die(pi) die von pi erzeugten Primideale bezeichnen.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei n \geq 2 eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. n ist die Potenz einer Primzahl.
  2. Der Restklassenring {\mathbb Z}/(n) ist zusammenhängend.
  3. Der Restklassenring {\mathbb Z}/(n) ist lokal.
  4. Die Reduktion von {\mathbb Z}/(n) ist ein Körper.
  5. Jeder Nullteiler von {\mathbb Z}/(n) ist nilpotent.
  6. Der Restklassenring {\mathbb Z}/(n) besitzt genau ein Primideal.
  7. Der Restklassenring {\mathbb Z}/(n) besitzt genau ein maximales Ideal.
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