Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25

Aus Wikiversity

< Zahlentheorie (Osnabrück 2008)

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe (3 Punkte)
2 Aufgabe (3 Punkte)
3 Aufgabe (3 Punkte)
4 Aufgabe (2 Punkte)
5 Aufgabe (4 Punkte)
6 Aufgabe (2 Punkte)
7 Aufgabe (2 Punkte)
8 Aufgabe (2 Punkte)
9 Aufgabe (4 Punkte)
10 Aufgabe (2 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei $\mathfrak f$ ein gebrochenes Ideal $\neq 0$ . Zeige unter Verwendung der Korrespondenz von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak f}^{-1}$ die Gestalt hat

${\mathfrak f}^{-1} =\{ q \in Q(R):\, q{\mathfrak f} \subseteq R \} \, .$

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $D < 0$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für $D \geq -12$ die Nichteinheiten $z \in A_D$ mit minimaler Norm.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl $n \in \Z$ , $n\neq 0$ , eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits faktoriell ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $A D$ ein quadratischer Zahlbereich und sei $\mathfrak a$ ein Ideal $\neq 0$ in $A D$ . Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ in der Klassengruppe das Inverse zu $\mathfrak a$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $D \neq 0,1$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei $p$ eine Primzahl, die in $A D$ nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

$p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A D$ .
$p$ ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in $A D$ .
$p$ oder $- p$ ist die Norm eines Elementes aus $A D$ .
$p$ oder $- p$ ist die Norm eines Primelementes aus $A D$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $R$ ein Zahlbereich und sei $f \in R$ , $f \neq 0$ . Es sei $(f) = {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k$ die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.