Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27
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Aufgabe (4 Punkte)
Sei R = A − 43 der quadratische Zahlbereich zu D = − 43. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Sei R = A − 67 der quadratische Zahlbereich zu D = − 67. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei R = A13 der quadratische Zahlbereich zu D = 13. Zeige mittels Korollar 27.10, dass R faktoriell ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Seien D und E zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien Sei AD und AE die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige:
Aufgabe (6 Punkte)
Sei ![R =A_{-15}=\Z[\frac{1+\sqrt{-15} }{2}]](http://upload.wikimedia.org/math/d/a/c/dac362829e86dee7dbb9a82e4313738f.png)
der quadratische Zahlbereich zu D = − 15. Berechne zu
Aufgabe (9 Punkte)
Sei ![R =A_{-11}=\Z[\frac{1+\sqrt{-11} }{2}]](http://upload.wikimedia.org/math/2/9/6/296dd62af78d7a18d36d3969c7bfca99.png)
der quadratische Zahlbereich zu D = − 11. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.
Aufgabe (5 Punkte)
Sei ![R =A_{-7}=\Z[\frac{1+\sqrt{-7} }{2}]](http://upload.wikimedia.org/math/7/1/8/718e509b7d1ced1eabb40395ad239b55.png)
der quadratische Zahlbereich zu D = − 7. Bestimme die Primfaktorzerlegung von
Aufgabe (6 Punkte)
Betrachte die kommutativen Ringe 
, 
und 
. Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Tipp: nicht die Endomorphismen, also die Homomorphismen von R nach R, ignorieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Sei R ein quadratischer Zahlbereich und 
ein Ideal in R. Zeige, dass es ein Element 
gibt mit der Eigenschaft, dass für alle maximalen Ideale 
gilt:
Aufgabe (5 Punkte)
Sei D quadratfrei und sei AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei D ein Vielfaches von 5 und 
. Zeige: AD ist nicht faktoriell.
Tipp: siehe Aufgabe 25.5.
