Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 3
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Aufgabe (2 Punkte)
Finde einen Primfaktor der Zahl 225 + 1.
Aufgabe (2 Punkte)
Sei p eine Primzahl. Zeige, dass
.Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in ![{\mathbb Z}[{\mathrm i}]](http://upload.wikimedia.org/math/a/9/0/a90de87004cc71618c2a53e4c16a1349.png)
mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 35 + 18i und 8 + 11i.
Aufgabe (2 Punkte)
Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme in ![{\mathbb F}_5[X]](http://upload.wikimedia.org/math/c/5/a/c5a5b3cd9518e6f25ab575c156fdcc03.png)
mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome P = X4 + 3X3 + X2 + 4X + 2 und Q = 2X3 + 4X2 + X + 3.
Aufgabe (4+ Punkte)
Die Beschreibungsseite des folgenden Bildes behauptet, etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun zu haben. Erläutere dies. Welche Eigenschaften des euklidischen Algorithmus sind in dem Bild sichtbar? Beweise diese Eigenschaften des Algorithmus.
Aufgabe (2 Punkte)
Seien r und s teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung (x,y) der Gleichung
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige durch ein Beispiel, dass die in obiger Aufgabe bewiesene Aussage ohne die Voraussetzung teilerfremd nicht stimmt.
In der folgenden Aufgabe wird der Logarithmus verwendet. Für Eigenschaften dieser Funktion, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist, siehe das Merkblatt.
Aufgabe (3+1 Punkte)
Betrachte die reellen Zahlen 
als 
-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen lnp, wobei p durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Bleibt das Ergebnis gültig, wenn man den natürlichen Logarithmus ln durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt?
Aufgabe (3 Punkte)
Sei 
.
a) Finde r aufeinander folgende natürliche Zahlen (also 
), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien r-„Intervalle“.
