Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 4

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe (2 Punkte)
2 Aufgabe (2 Punkte)
3 Aufgabe (1 - 4 Punkte)
4 Aufgabe (3 Punkte)
5 Aufgabe (2 Punkte)
6 Aufgabe (4 Punkte)
7 Aufgabe (2 Punkte)
8 Aufgabe (4 Punkte)
9 Aufgabe (3 Punkte)
10 Aufgabe (4 Punkte)

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der linearen Kongruenz $12x=3 \mod 21$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rest von $27!$ modulo $31$ .

Aufgabe (1 - 4 Punkte)

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Operationstafeln für Restklassenringe von Z

und erstelle für einen der angeführten Restklassenringe $\Z/(n)$ im entsprechenden Link Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation (kategorisiere!).

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler $k = 2,3,5,9,11$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass $a p - a$ ein Vielfaches von $p$ ist für jede ganze Zahl $a$ .

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $n \geq 2$ keine Primzahl. Zeige, dass das Potenzieren

$\Z/(n) \longrightarrow \Z/(n) , \, a \longmapsto a^n \, ,$

kein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik $p > 0$ enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R \longrightarrow R , \, f \longmapsto f^p \, ,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobenius-Homomorphismus nennt.Tipp: benutze Aufgabe 3.2.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $p$ eine Primzahl und sei $f (x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\Z/(p)$ vom Grad $d \geq p$ . Zeige, dass es ein Polynom $g (x)$ mit einem Grad $< p$ gibt derart, dass für alle Elemente $a \in \Z/(p)$ die Gleichheit

$f(a)=g(a) \,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei $f(x)=x^7+2x^3 +3x+4 \in (\Z/(5))[x]$ . Finde ein Polynom $g(x) \in (\Z/(5))[x]$ vom Grad $< 5$ , das für alle Elemente aus $\Z/(5)$ mit $f (x)$ übereinstimmt.

Aufgabe (4 Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen $2$ , $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\mathbb Z}/(2) \times {\mathbb Z}/(3) \times {\mathbb Z}/(7) \,$

die Restetupel

(1,0,0)

,

(0,1,0)

und

(0,0,1)

repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $a$ der Kongruenzen

$a = 1 \mod 2 , \, \, a = 2 \mod 3 \, \mbox{ und } \, \, a = 2 \mod 7 \, .$

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Aufgabe (2 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Aufgabe (2 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

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