Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 6
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Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme alle primitiven Elemente von 
.
Aufgabe (2 Punkte)
Gebe für die Einheitengruppe 
explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei n eine natürliche Zahl derart, dass 
zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich 
ist, wobei 
die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn nicht zyklisch ist?
Aufgabe (2 Punkte)
Sei p eine Primzahl und 
. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung
Aufgabe (7 Punkte)
a) Sei K ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von K nicht zyklisch unendlich ist.
b) Sei R ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von R nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei p eine Primzahl und 
. Zeige, dass das Potenzieren
Aufgabe (3 Punkte)
Sei p eine Primzahl und 
der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
![{\mathbb F}_p[i] = {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p i = \{a+bi: a,b \in {\mathbb F}_p\} \,](http://upload.wikimedia.org/math/7/c/9/7c9209b66287db4412819a3f29742a89.png)
Aufgabe (2 Punkte)
Seien a, b und r positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ar | br die Teilbarkeit a | b impliziert.
Aufgabe (4 Punkte)
Seien a und b positive natürliche Zahlen. Seien 
, und 
, Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung
