Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 7
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Aufgabe (2 Punkte)
Zu p = 13 und k = 3 berechne die Vielfachen 
für 
und repräsentiere sie durch Zahlen zwischen − 6 und 6. Berechne damit die Vorzeichen εi = εi(3) und bestätige das Gaußsche Vorzeichenlemma an diesem Beispiel.
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Eulersche Kriterium für beliebige Potenzreste.
Aufgabe (4 Punkte)
Sei p eine Primzahl und sei e eine natürliche Zahl. Zeige, dass ein Element 
genau dann eine e-te Wurzel besitzt, wenn 
ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei p eine ungerade Primzahl und 
primitiv. Zeige, dass von den p Elementen aus 
, die auf a abgebildet werden, genau p − 1 Stück primitiv in sind. Finde für p = 7 und a = 3 dasjenige Element 
mit 
, das nicht primitiv ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Finde die Lösungen der Kongruenz
Aufgabe (2 Punkte)
Die Seite
enthält einen Beweis für das Gaußsche Vorzeichenlemma, Kopieren Sie den Inhalt der Seite in eine Unterseite Ihrer Benutzerseite (am besten mit {{subst::}}). Begründen Sie in den an den roten Gleichheitszeichen verankerten Links, warum die Gleichungen stimmen. Sagen Sie insbesondere, ob die Gleichheit in 
gilt oder nur 
.
Aufgabe (3 Punkte)
Charakterisiere diejenigen positiven ungeraden Zahlen n mit der Eigenschaft, dass bei dem in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus genau zwei ungerade Zahlen auftreten (nämlich n und 1).
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass im Restklassenring 
die Äquivalenz gilt, dass zwei Elemente a,b genau dann assoziiert sind, wenn (a) = (b) ist.
Finde eine Charakterisierung für diese Äquivalenzrelation, die auf den Primfaktorzerlegungen von n,a und b aufbaut.
Die folgende Aufgabe setzt eine gewisse Routine im Umgang mit kommutativen Ringen voraus.
Aufgabe (4 Punkte)
Gebe ein Beispiel von zwei Elementen a und b eines kommutativen Ringes derart, dass (a) = (b) ist, dass aber a und b nicht assoziiert sind.
Dafür ist die folgende Aufgabe für Leute gedacht, die gerne Diagramme am Computer erstellen.
Aufgabe (2-4 Punkte)
Erstelle einen Diagrammstammbaum, der für alle Zahlen (oder nur alle ungeraden Zahlen) 
die Wirkungsweise des in Aufgabe 5.13 beschriebenen Algorithmus widergibt. Der Übersichtlichkeit halber könnte es sinnvoll sein, nur die Schritte von einer ungeraden Zahl zur algorithmisch folgenden ungeraden Zahl darzustellen. Die 1 sollte die (Ziel-)Wurzel des Stammbaums sein. Ein solches Diagramm kann direkt in Wikiversity erstellt werden oder aber in einem von Wiki-Commons akzeptierten Format (dort hochladen und hier einbinden).
Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem Monoid Sinn (nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes). In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen. Da diese Aufgaben sich ähneln, können dafür maximal nur 5 Punkte gut geschrieben werden.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Menge M derjenigen positiven Zahlen, die modulo 4 den Rest 1 haben. Zeige, dass M mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von M. Zeige, dass in M jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in M gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Menge G der positiven geraden Zahlen zusammen mit 1. Zeige, dass G ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von G. Zeige, dass in G jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in G gilt.
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die natürlichen Zahlen 
als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element 0. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
