Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Definitionsabfrage

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Definition: Monoid

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung

$\circ :M \times M \rightarrow M \,$

und einem ausgezeichneten Element $e \in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

$(x \circ y) \circ z =x \circ (y \circ z) \,$

für alle $x,y,z \in M$ .
$e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

$x \circ e = x = e \circ x \,$

für alle $x \in M$ .

Definition: Gruppe

Ein Monoid $(G, \circ, e)$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem $x \in G$ ein $y \in G$ gibt mit $x \circ y = e = y \circ x$ .

Definition: Abelsche Gruppe

Eine Gruppe $(G, \circ, e)$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x \circ y = y \circ x$ für alle $x,y \in G$ gilt.

Definition: Zyklische Gruppe

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Definition: Ring

Ein Ring $R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

$(R, + ,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
$(R, \cdot,1)$ ist ein Monoid.
Es gelten die Distributivgesetze, also $a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c)$ und $(b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a)$ für alle $a,b,c \in R$ .

Definition: Kommutativer Ring

Ein Ring

R

heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition: Teilen (in einem Ring)

Sei $R$ ein kommutativer Ring, und $a, b$ Elemente in $R$ . Man sagt, dass $a$ das Element $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es ein $c \in R$ gibt derart, dass $b= c \cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch $a | b$ .

Definition: Einheit

Ein Element

u

in einem kommutativen Ring

R

heißt Einheit, wenn es ein Element $v \in R$ gibt derart, dass

u v = 1

ist.

Definition: Assoziiert

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u \in R$ gibt derart, dass $a = u b$ ist.

Definition: Irreduzibel

Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung $p = a b$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition: Primelement

Eine Nichteinheit $p \neq 0$ in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt

p

ein Produkt

a b

mit $a,b \in R$ , so teilt es einen der Faktoren.

Definition: Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Definition: Körper

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R \neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition: Ideal

Eine nichtleere Teilmenge $\mathfrak {a}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $a,b \in \mathfrak {a}$ ist auch $a+b \in \mathfrak {a}$ .
Für alle $a \in \mathfrak {a}$ und $r \in R$ ist auch $ra \in \mathfrak {a}$ .

Definition: Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen $a_j \in R$ , $j \in J$ , in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_j: j \in J)$ das von den $a j$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum_{j \in J_0} r_j a_j \, ,$

wobei $J_0 \subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_j \in R$ ist.

Definition: Hauptideal

Ein Ideal $\mathfrak a$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form

${\mathfrak a} = (a) = Ra = \{ra:\, r \in R\} \, .$

heißt Hauptideal.

Definition: Hauptidealbereich

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

Definition: Gemeinsamer Teiler

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_1, \ldots ,a_k \in R$ . Dann heißt ein Element $t \in R$ gemeinsamer Teiler der $a_1, \ldots ,a_k$ , wenn $t$ jedes $a i$ teilt ( $i=1, \ldots , k$ ). Ein Element $g \in R$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_1, \ldots ,a_k$ , wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ dieses $g$ teilt.

Die Elemente $a_1, \ldots ,a_k$ heißen teilerfremd, wenn $1$ ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Definition: Euklidischer Bereich

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich $R$ , für den eine Abbildung $\delta: R-\{0\} \to {\mathbb N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente $a, b$ mit $b \neq 0$ gibt es $q , r \in R$ mit

$a = qb+r \mbox{ und } r=0 \mbox{ oder } \delta (r)< \delta (b) \, .$

Definition: Euklidische Restfolge

Seien zwei Elemente $a, b$ (mit $b \neq 0$ ) eines euklidischen Bereichs $R$ mit euklidischer Funktion $δ$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r 0 = a$ und $r 1 = b$ und die mittels der Division mit Rest

$r_{i} = q_i r_{i+1} + r_{i+2} \,$

rekursiv bestimmte Folge

r i

die Folge der euklidischen Reste.

Definition: Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
Jedes Element $a \in R$ , $a \neq 0$ , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

Definition: Eulersche Funktion

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\Z/(n))^{\times}$ . Man nennt ${\varphi (n)}$ die Eulersche Funktion.

Definition: Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Definition: Produktring

Seien $R_1 , \ldots , R_n$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_1 \times \cdots \times R_n \, ,$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der

R i

, $i=1, \ldots ,n$ .

Definition: Exponent (Gruppentheorie)

Der Exponent $exp(G)$ einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass $x n = 1$ ist für alle $x \in G$ .

Definition: Primitive Elemente

Eine Einheit $u \in ({\mathbb Z}/(n))^\times$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Definition: Quadratische Reste

Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$ , wenn es eine Zahl $x$ gibt mit

$x^2 = k \mod n \, .$

Im anderen Fall heißt

k

ein quadratischer Nichtrest modulo

n

.

Definition: Legendre-Symbol

Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k \in \Z$ definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben $\left(\frac{k}{p}\right)$ (sprich „ $k$ nach $p$ “), durch

$\left(\frac{k}{p}\right) := \begin{cases} 1, \mbox{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \mbox{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} \,$

Definition: Jacobi-Symbol

Für eine ungerade Zahl $n$ und eine ganze Zahl $k$ definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben $\left(\frac{k}{n}\right)$ ( $k$ nach $n$ ), wie folgt. Es sei $n=p_1 \cdots p_r$ die Primfaktorzerlegung von $n$ . Dann setzt man

$\left(\frac{k}{n}\right) := \left(\frac{k}{p_1}\right) \cdots \left(\frac{k}{p_r}\right) \, .$

Definition: Pythagoreische Tripel

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung $(x,y,z) \in {\mathbb Z}^3$ der diophantischen Gleichung

$x^2+y^2=z^2 \, .$

Es heißt primitiv, wenn

x, y, z

keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Definition: Riemannsche Zetafunktion/Definition

{{:Riemannsche

ζ

-Funktion }}

Definition: Primzahlfunktion

Die für $x\in \R$ definierte Funktion

$x \longmapsto \pi (x):= \# \{ p \leq x, p \mbox{ Primzahl}\} \,$

heißt Primzahlfunktion.

Definition: Erste Tschebyschow-Funktion

Die erste Tschebyschow-Funktion $\vartheta (x)$ ist gegeben durch

$\vartheta(x)=\sum_{p\le x, p \mbox{ prim} } \ln (p) \, .$

Definition: Mersennesche Primzahl

Eine Primzahl der Form

2 n - 1

heißt Mersennesche Primzahl.

Definition: Teilersumme

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler davon als $σ(n)$ , also

$\sigma(n)= \sum_{t {{|}} n} t \, .$

Definition: Vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe aller ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Definition: Defiziente Zahlen

Eine natürliche Zahl

n

heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als

2 n

ist.

Definition: Abundante Zahlen

Eine natürliche Zahl

n

heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als

2 n

ist.

Definition: Sonderbare Zahlen

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Definition: Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.

Definition: Fermatsche Primzahlen

Eine Primzahl der Form

2 s + 1

, wobei

s

eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Definition: Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form $2^{2^r}+1$ , wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Definition: Sophie Germain Primzahlen

Eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2 p + 1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie Germain Primzahl.

Definition: Quasiprim

Eine natürliche Zahl $n$ heißt quasiprim zur Basis $a$ , wenn $a n - 1 = 1$ modulo $n$ gilt.

Definition: Carmichael-Zahl

Eine natürliche Zahl $n$ , die nicht prim ist, mit der Eigenschaft, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$ gilt

$a^{n-1} = 1 \mod n \, ,$

heißt Carmichael-Zahl.

Definition: Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich $R$ ist der Quotientenkörper $Q (R)$ definiert als die Menge der formalen Brüche

$Q(R) = \{ \frac{r}{s}:\, r, s \in R, \, s \neq 0 \} \,$

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen.

Definition: Algebra

Seien $R$ und $A$ kommutative Ringe und sei $R \rightarrow A$ ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man $A$ eine $R$ -Algebra.

Definition: Algebraische Elemente

Sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$ -Algebra. Es sei $f \in A$ ein Element. Dann heißt $f$ algebraisch über $K$ , wenn es ein von null verschiedenes Polynom $P \in K[X]$ gibt mit $P (f) = 0$ .

Definition: Minimalpolynom

Sei $K$ ein Körper und $A$ eine kommutative $K$ -Algebra. Es sei $f \in A$ ein über $K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom $P \in K[X]$ mit $P (f) = 0$ und vom minimalen Grad mit dieser Eigenschaft, das Minimalpolynom von $f$ .

Definition: Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl $z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen $\mathbb Q$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Definition: Körpererweiterungen

Sei $L$ ein Körper und $K \subseteq L$ ein Unterkörper von $L$ . Dann heißt $L$ ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von $K$ und die Inklusion $K \subseteq L$ heißt eine Körpererweiterung.

Definition: Endliche Körpererweiterungen

Eine Körpererweiterung $K \subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Definition: Grad einer Körpererweiterung

Sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$ -(Vektorraum-)Dimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Definition: Norm eines algebraischen Elementes

Sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f \in L$ nennt man die Determinante der $K$ -linearen Abbildung

$\varphi_f: L \longrightarrow L , \, y \longmapsto fy \, ,$

die Norm von

f

. Sie wird mit

N (f)

bezeichnet.

Definition: Spur eines algebraischen Elementes

Sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element $f \in L$ nennt man die Spur der $K$ -linearen Abbildung

$\varphi_f: L \longrightarrow L,\, y \longmapsto fy, \,$

die Spur von

f

. Sie wird mit

S (f)

bezeichnet.

Definition: Separable Körpererweiterung

Sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element $x \in L$ das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

Definition: Diskriminate einer Basis

Sei $K \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ und seien $b_1, \ldots ,b_n$ Elemente in $L$ . Dann wird die Diskriminante von $b_1, \ldots ,b_n$ definiert durch

$\triangle (b_1, \ldots ,b_n) = \det( S(b_ib_j)_{i,j} ) \, .$

Definition: Modul

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $M = (M, + ,0)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $M$ einen $R$ -Modul, wenn es eine Operation

$R \times M \longrightarrow M, \, (r,v) \longmapsto rv=r\cdot v \, ,$

gibt, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s \in R$ und $u,v \in M$ beliebig):

$r (s u) = (r s) u$ ,
$r (u + v) = (r u) + (r v)$ ,
$(r + s) u = (r u) + (s u)$ ,
$1 u = u$ .

Definition: Untermodul

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von $M$ ist und wenn für jedes $u \in U$ und $r \in R$ gilt, dass auch $ru \in U$ ist.

Definition: Erzeugendensystem (Modul)

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine Teilmenge $v_i \in M$ , $i \in I$ , heißt Erzeugendensystem für $M$ , wenn es für jedes Element $v \in M$ eine Darstellung

$v= \sum_{i \in J} r_i v_i \,$

gibt, wobei $J \subseteq I$ endlich ist und $r_i \in R$ .

Definition: Endlicher Modul

Sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Der Modul $M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem $v i$ , $i \in I$ , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition: Primideal

Ein Ideal $\mathfrak p$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn $\mathfrak p \neq R$ ist und wenn für $r,s \in R$ mit $r \cdot s \in \mathfrak p$ folgt: $r \in \mathfrak p$ oder $s \in \mathfrak p$ .

Definition: Maximales Ideal

Ein Ideal ${\mathfrak m}$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn ${\mathfrak m} \neq R$ ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.

Definition: Ganzheitsgleichung

Seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x \in S$ heißt eine Gleichung der Form

$x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \ldots + r_1x +r_0 = 0 \, ,$

wobei die Koeffizienten $r_{i} , \, i=0, \ldots, n-1$ , zu

R

gehören, eine Ganzheitsgleichung für

x

.

Definition: Ganzes Element

Seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element $x \in S$ heißt ganz, wenn x eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.

Definition: Ganzer Abschluss

Seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente $x \in S$ , die ganz über $R$ sind, den ganzen Abschluss von $R$ in $S$ .

Definition: Ganze Ringerweiterungen

Seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt $S$ ganz über $R$ , wenn jedes Element $x \in S$ ganz über $R$ ist.

Definition: Ganz-abgeschlossen

Seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt $R$ ganz-abgeschlossen in $S$ , wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.

Definition: Normal

Ein

Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem

Quotientenkörper ist.

Definition: Normalisierung

Sei

R

ein Integritätsbereich und

Q (R)

sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von

R

in

Q (R)

die Normalisierung von

R

.

Definition: Zahlbereiche

Sei ${\mathbb Q}\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von $\Z$ in $L$ den Ring der ganzen Zahlen in $L$ . Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Definition: Noethersche Ringe

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Definition: Dedekindbereiche

Einen Integritätsbereich $R$ nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von null verschiedene Primideal darin maximal ist.

Definition: Diskriminante eines Zahlbereichs

Sei $R$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung $\mathbb Q \subseteq L$ . Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$ (und die Diskriminante von $L$ ).

Definition: Endliche Körper (Notation)

Sei $p$ eine Primzahl und $e \in \N_+$ . Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit $q = p e$ Elementen wird mit

${\mathbb F}_q \,$

bezeichnet.

Definition: Quadratischer Zahlbereich

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von $\mathbb Q$ vom Grad $2$ .

Definition: quadratfreie Zahl

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einfachem Exponent vorkommt.

Definition: Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche

Sei $D \neq 0,1$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt $A D$ reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist.

Definition: Konjugation

Sei $D$ eine quadratfreie Zahl und sei ${\mathbb Q}[\sqrt{D}]$ die zugehörige quadratische Körpererweiterung und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf $\Q[\sqrt{D}]$ , auf $\Z[\sqrt{D}]$ und auf $A D$ )

$a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D} \,$

als Konjugation bezeichnet.

Definition: Norm eines Ideals

Sei $D \neq 0,1$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei $\mathfrak a$ ein von Null verschiedenes Ideal in $A D$ . Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes $A_D/{\mathfrak a}$ die Norm von ${\mathfrak a}$ . Sie wird mit

$N({\mathfrak a}) \,$

bezeichnet.

Definition: Multiplikatives System

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge $S \subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

$1 \in S$
Wenn $f,g \in S$ , dann ist auch $fg \in S$

gelten.

Definition: Nenneraufnahmme

Sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $S \subseteq R$ ein multiplikatives System, $0 \not \in S$ . Dann nennt man den Unterring

$R_S := \left \{ \frac{f}{g}: \, f \in R,\, g \in S \right \} \subseteq Q(R) \,$

die Nenneraufnahme zu

S

.

Definition: Lokalisierung

Sei $R$ ein Integritätsbereich und sei ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S=R -{\mathfrak p}$ die Lokalisierung von $R$ an ${\mathfrak p}$ . Man schreibt dafür $R_{\mathfrak p}$ . Es ist also

$R_{\mathfrak p} := \{ \frac{f}{g} {{|}} \, f \in R,\, g \not\in {\mathfrak p} \} \subseteq Q(R) \, .$

Definition: Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition: diskreten Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring

R

ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in

R

gibt.

Definition: Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f \in R , \, f \neq 0$ , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement

p

heißt die Zahl $n \in \N$ mit der Eigenschaft

f = u p n

, wobei

u

eine Einheit bezeichne, die Ordnung von

f

. Sie wird mit

ord(f)

bezeichnet.

Definition: Hauptdivisor zu Ringelement

Sei $R$ ein Zahlbereich und $f \in R$ , $f \neq 0$ . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak p} \neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f)$ zuordnet, der durch $f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname{div} (f)$ bezeichnet und als formale Summe

$\operatorname{div} (f) = \sum_{\mathfrak p} \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f) \cdot {\mathfrak p} \,$

geschrieben.

Definition: Ordnung an Primstelle

Sei $R$ ein Zahlbereich, ${\mathfrak p} \neq 0$ ein Primideal in $R$ und $f \in R$ , $f \neq 0$ . Dann heißt die Ordnung $ord(f)$ im diskreten Bewertungsring $R_{\mathfrak p}$ die Ordnung von $f$ am Primideal ${\mathfrak p}$ (oder an der Primstelle ${\mathfrak p}$ oder in $R_{\mathfrak p}$ ). Sie wird mit $\mathrm{ord}_{\mathfrak p} (f)$ bezeichnet.

Definition: Effektiver Divisor

Sei $R$ ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

$\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, ,$

die sich über alle Primideale ${\mathfrak p} \neq 0$ aus

R

erstreckt und wobei $n_{\mathfrak p}$ natürliche Zahlen sind mit $n_{\mathfrak p} = 0$ für fast alle ${\mathfrak p}$ .

Definition: Effektiver Divisor zu einem Ideal

Sei $R$ ein Zahlbereich und ${\mathfrak a} \neq 0$ ein von null verschiedenes Ideal in $R$ . Dann nennt man den Divisor

$\operatorname{div}({\mathfrak a}) = \sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,$

mit

$m_{\mathfrak p} = \operatorname{ord}_{\mathfrak p}({\mathfrak a}) = \operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(f) : \, f \in {\mathfrak a},\, f \neq 0 \} \,$

den Divisor zum Ideal ${\mathfrak a}$ .

Definition: Ideal zu einem effektiven Divisor

Sei $R$ ein Zahlbereich und

$D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,$

ein effektiver Divisor (wobei ${\mathfrak p}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man

$\{ f \in R: \operatorname{div} (f) \geq D \} \,$

das Ideal zum Divisor

D

. Es wird mit $\operatorname{Id} (D)$ bezeichnet.

Definition: Divisor

Sei $R$ ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, ,$

die sich über alle Primideale ${\mathfrak p} \neq 0$ aus

R

erstreckt und wobei $n_{\mathfrak p}$ ganze Zahlen sind mit $n_{\mathfrak p} = 0$ für fast alle ${\mathfrak p}$ .

Definition: Hauptdivisor

Sei $R$ ein Zahlbereich und $q \in Q(R)$ , $q \neq 0$ . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak p} \neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname{div} (q)$ bezeichnet und als formale Summe

$\operatorname{div} (q) = \sum_{\mathfrak p} \mathrm{ord}_{\mathfrak p} (q) \cdot {\mathfrak p} \,$

geschrieben.

Definition: Gebrochenes Ideal

Sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q (R)$ . Dann nennt man einen endlich erzeugten $R$ - Untermodul $\mathfrak f$ des $R$ - Moduls $Q (R)$ ein gebrochenes Ideal.

Definition: Gebrochenes Hauptideal

Sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q (R)$ . Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form $\mathfrak f =Rq$ mit $q \in Q(R)$ ein gebrochenes Hauptideal.

Definition: Produkt von gebrochenen Idealen

Sei $R$ ein Zahlbereich mit Quotientenkörper $Q (R)$ . Dann definiert man für gebrochene Ideale $\mathfrak f$ und $\mathfrak g$ das Produkt $\mathfrak f \cdot \mathfrak g$ als den von allen Produkten erzeugten $R$ -Untermodul von $Q (R)$ , also

$\mathfrak f \cdot \mathfrak g = R \langle g f : \, f \in \mathfrak f,\, g \in \mathfrak g \rangle \, ,$

wobei das Produkt in

Q (R)

zu nehmen ist.

Definition: Gebrochenes Ideal zu einem Divisor

Sei $R$ ein Zahlbereich und

$D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,$

ein Divisor (wobei ${\mathfrak p}$ durch die Menge der Primideale $\neq 0$ läuft). Dann nennt man

$\{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq D \} \,$

das gebrochene Ideal zum Divisor

D

. Es wird mit $\operatorname{Id} (D)$ bezeichnet.

Definition: Divisor zu einem gebrochenen Ideal

Sei

R

ein Zahlbereich und ${\mathfrak f} \neq 0$ ein von null verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

$\operatorname{div}({\mathfrak f}) = \sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, \,$

mit

$m_{\mathfrak p} = \operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(f) : \, f \in {\mathfrak f},\, f \neq 0 \} \,$

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${\mathfrak f}$ .

Definition: Divisorenklassengruppe

Sei $R$ ein Zahlbereich. Es sei $\operatorname{Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und $H \subseteq \operatorname{Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

$\operatorname{KG}(R) = \operatorname{Div} (R)/H \,$

die Divisorenklassengruppe von

R

.

Definition: Normeuklidisch

Sei $D \neq 0,1$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt $A D$ normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf $A D$ eine euklidische Funktion ist.

Definition: Gitter

Seien $v_1, \ldots , v_n$ linear unabhängige Vektoren im $\R^n$ . Dann heißt die Untergruppe $\Z v_1 \oplus \ldots \oplus \Z v_n$ ein Gitter im $\R^n$ .

Definition: konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge $T \subseteq \R^n$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q \in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q \mbox{ mit } r \in [0,1] \, ,$

ebenfalls zu

T

gehört.

Definition: konvexe Hülle

Zu einer Teilmenge $U \subseteq \R^n$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge $T$ , die $U$ umfasst, die konvexe Hülle von $T$ .

Definition: Grundmasche

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_1, \ldots , v_n$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $e_1v_1 + \ldots +e_nv_n$ mit $e_i \in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Definition: Zentralsymmetrisch

Eine Teilmenge $T \subseteq \R^n$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P \in T$ auch der Punkt $- P$ zu $T$ gehört.

Definition: Kompaktheit

Ein topologischer Raum $X$ heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

$X= \bigcup_{i \in I} U_i \, \, \, \text{ mit } U_i \text{ offen und einer beliebigen Indexmenge } \,$

eine endliche Teilmenge $J \subseteq I$ gibt derart, dass

$X= \bigcup_{i \in J} U_i \,$

ist.

Definition: Klassenzahl

Sei $A D$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $A D$ die Klassenzahl von $A D$ .

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