Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Definitionsliste

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Inhaltsverzeichnis

Definition: Monoid

Ein Monoid ist eine Menge M zusammen mit einer Verknüpfung

\circ :M \times M \rightarrow M \,
und einem ausgezeichneten Element e \in M derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
    (x \circ y) \circ z =x \circ (y \circ z) \,
    für alle x,y,z \in M.
  2. e ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
    x \circ e = x = e \circ x \,
    für alle x \in M.
 


Definition: Gruppe

Ein Monoid (G, \circ, e) heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem x \in G ein y \in G gibt mit x \circ y = e = y \circ x.

 


Definition: Abelsche Gruppe

Eine Gruppe (G, \circ, e) heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also x \circ y = y \circ x für alle x,y \in G gilt.

 


Definition: Zyklische Gruppe

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

 


Definition: Ring

Ein Ring R ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen + und \cdot und mit zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. (R, + ,0) ist eine abelsche Gruppe.
  2. (R, \cdot,1) ist ein Monoid.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, also a \cdot (b+c) = ( a \cdot b) + (a \cdot c) und (b+c) \cdot a = ( b \cdot a) + (c \cdot a) für alle a,b,c \in R.
 


Definition: Kommutativer Ring

Ein Ring R heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
 


Definition: Teilen (in einem Ring)

Sei R ein kommutativer Ring, und a,b Elemente in R. Man sagt, dass a das Element b teilt (oder dass b von a geteilt wird, oder dass b ein Vielfaches von a ist), wenn es ein c \in R gibt derart, dass b= c \cdot a ist. Man schreibt dafür auch a | b.

 


Definition: Einheit

Ein Element u in einem kommutativen Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v \in R gibt derart, dass uv = 1 ist.
 


Definition: Assoziiert

Zwei Elemente a und b eines kommutativen Ringes R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit u \in R gibt derart, dass a = ub ist.

 


Definition: Irreduzibel

Eine Nichteinheit p in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung p = ab nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

 


Definition: Primelement

Eine Nichteinheit p \neq 0 in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt p ein Produkt ab mit a,b \in R, so teilt es einen der Faktoren.
 


Definition: Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

 


Definition: Körper

Ein kommutativer Ring R heißt Körper, wenn R \neq 0 ist und wenn jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

 


Definition: Ideal

Eine nichtleere Teilmenge \mathfrak {a} eines kommutativen Ringes R heißt Ideal, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Für alle a,b \in \mathfrak {a} ist auch a+b \in \mathfrak {a}.
  2. Für alle a \in \mathfrak {a} und r \in R ist auch ra \in \mathfrak {a}.
 


Definition: Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen a_j \in R, j \in J, in einem kommutativen Ring R bezeichnet (a_j: j \in J) das von den aj erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

\sum_{j \in J_0} r_j a_j \, ,
wobei J_0 \subseteq J eine endliche Teilmenge und r_j \in R ist.
 


Definition: Hauptideal

Ein Ideal \mathfrak a in einem kommutativen Ring R der Form

{\mathfrak a} = (a) = Ra = \{ra:\, r \in R\} \, .
heißt Hauptideal.
 


Definition: Hauptidealbereich

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

 


Definition: Gemeinsamer Teiler

Sei R ein kommutativer Ring und a_1, \ldots ,a_k \in R. Dann heißt ein Element t \in R gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k, wenn t jedes ai teilt (i=1, \ldots , k). Ein Element g \in R heißt größter gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k, wenn g ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler t dieses g teilt.

Die Elemente a_1, \ldots ,a_k heißen teilerfremd, wenn 1 ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

 


Definition: Euklidischer Bereich

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich R, für den eine Abbildung \delta: R-\{0\} \to {\mathbb N} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente a,b mit b \neq 0 gibt es q , r \in R mit

a = qb+r \mbox{ und } r=0 \mbox{ oder } \delta (r)< \delta (b) \, .
 


Definition: Euklidische Restfolge

Seien zwei Elemente a,b (mit b \neq 0) eines euklidischen Bereichs R mit euklidischer Funktion δ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen r0 = a und r1 = b und die mittels der Division mit Rest

r_{i} = q_i r_{i+1} + r_{i+2} \,
rekursiv bestimmte Folge ri die Folge der euklidischen Reste.
 


Definition: Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Jedes irreduzible Element in R ist prim.
  2. Jedes Element a \in R, a \neq 0, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
 


Definition: Eulersche Funktion

Zu einer natürlichen Zahl n bezeichnet {\varphi (n)} die Anzahl der Elemente von (\Z/(n))^{\times}. Man nennt {\varphi (n)} die Eulersche Funktion.

 


Definition: Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

 


Definition: Produktring

Seien R_1 , \ldots , R_n kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

R_1 \times \cdots \times R_n \, ,
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der Ri, i=1, \ldots ,n.

 


Definition: Exponent (Gruppentheorie)

Der Exponent exp(G) einer endlichen Gruppe G ist die kleinste positive Zahl n mit der Eigenschaft, dass xn = 1 ist für alle x \in G.

 


Definition: Primitive Elemente

Eine Einheit u \in ({\mathbb Z}/(n))^\times heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
 


Definition: Quadratische Reste

Eine ganze Zahl k heißt quadratischer Rest modulo n, wenn es eine Zahl x gibt mit

x^2 = k \mod n \, .
Im anderen Fall heißt k ein quadratischer Nichtrest modulo n.
 


Definition: Legendre-Symbol

Für eine ungerade Primzahl p und eine zu p teilerfremde Zahl k \in \Z definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben \left(\frac{k}{p}\right) (sprich „k nach p“), durch

\left(\frac{k}{p}\right) := \begin{cases} 1, \mbox{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \mbox{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} \,
 


Definition: Jacobi-Symbol

Für eine ungerade Zahl n und eine ganze Zahl k definiert man das Jacobi-Symbol, geschrieben \left(\frac{k}{n}\right) (k nach n), wie folgt. Es sei n=p_1 \cdots p_r die Primfaktorzerlegung von n. Dann setzt man

\left(\frac{k}{n}\right) := \left(\frac{k}{p_1}\right) \cdots \left(\frac{k}{p_r}\right) \, .
 


Definition: Pythagoreische Tripel

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung (x,y,z) \in {\mathbb Z}^3 der diophantischen Gleichung

x^2+y^2=z^2 \, .
Es heißt primitiv, wenn x,y,z keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

 


Definition: Riemannsche Zetafunktion/Definition

{{:Riemannsche ζ-Funktion }}
 


Definition: Primzahlfunktion

Die für x\in \R definierte Funktion

x \longmapsto \pi (x):= \# \{ p \leq x, p \mbox{ Primzahl}\} \,
heißt Primzahlfunktion.

 


Definition: Erste Tschebyschow-Funktion

Die erste Tschebyschow-Funktion \vartheta (x) ist gegeben durch

\vartheta(x)=\sum_{p\le x, p \mbox{ prim} } \ln (p) \, .
 


Definition: Mersennesche Primzahl

Eine Primzahl der Form 2n − 1 heißt Mersennesche Primzahl.
 


Definition: Teilersumme

Zu einer natürlichen Zahl n bezeichnet man die Summe aller natürlichen Teiler davon als σ(n), also

\sigma(n)= \sum_{t {{|}} n} t \, .
 


Definition: Vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe aller ihrer von n verschiedenen Teiler übereinstimmt.

 


Definition: Defiziente Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als 2n ist.
 


Definition: Abundante Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als 2n ist.
 


Definition: Sonderbare Zahlen

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.
 


Definition: Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen m und n heißen befreundet, wenn m gleich der Summe der echten Teiler von n ist und umgekehrt.

 


Definition: Fermatsche Primzahlen

Eine Primzahl der Form 2s + 1, wobei s eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
 


Definition: Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form 2^{2^r}+1, wobei r eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

 


Definition: Sophie Germain Primzahlen

Eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass auch 2p + 1 eine Primzahl ist, heißt Sophie Germain Primzahl.

 


Definition: Quasiprim

Eine natürliche Zahl n heißt quasiprim zur Basis a, wenn an − 1 = 1 modulo n gilt.

 


Definition: Carmichael-Zahl

Eine natürliche Zahl n, die nicht prim ist, mit der Eigenschaft, dass für jede zu n teilerfremde ganze Zahl a gilt

a^{n-1} = 1 \mod n \, ,
heißt Carmichael-Zahl.
 


Definition: Quotientenkörper

Zu einem Integritätsbereich R ist der Quotientenkörper Q(R) definiert als die Menge der formalen Brüche

Q(R) = \{ \frac{r}{s}:\, r, s \in R, \, s \neq 0 \} \,
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen.
 


Definition: Algebra

Seien R und A kommutative Ringe und sei R \rightarrow A ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man A eine R-Algebra.

 


Definition: Algebraische Elemente

Sei K ein Körper und A eine kommutative K-Algebra. Es sei f \in A ein Element. Dann heißt f algebraisch über K, wenn es ein von null verschiedenes Polynom P \in K[X] gibt mit P(f) = 0.

 


Definition: Minimalpolynom

Sei K ein Körper und A eine kommutative K-Algebra. Es sei f \in A ein über K algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom P \in K[X] mit P(f) = 0 und vom minimalen Grad mit dieser Eigenschaft, das Minimalpolynom von f.

 


Definition: Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen \mathbb Q ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

 


Definition: Körpererweiterungen

Sei L ein Körper und K \subseteq L ein Unterkörper von L. Dann heißt L ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von K und die Inklusion K \subseteq L heißt eine Körpererweiterung.

 


Definition: Endliche Körpererweiterungen

Eine Körpererweiterung K \subseteq L heißt endlich, wenn L ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K ist.

 


Definition: Grad einer Körpererweiterung

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die K-(Vektorraum-)Dimension von L den Grad der Körpererweiterung.

 


Definition: Norm eines algebraischen Elementes

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element f \in L nennt man die Determinante der K-linearen Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L , \, y \longmapsto fy \, ,
die Norm von f. Sie wird mit N(f) bezeichnet.
 


Definition: Spur eines algebraischen Elementes

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element f \in L nennt man die Spur der K-linearen Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L,\, y \longmapsto fy, \,
die Spur von f. Sie wird mit S(f) bezeichnet.
 


Definition: Separable Körpererweiterung

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element x \in L das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

 


Definition: Diskriminate einer Basis

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und seien b_1, \ldots ,b_n Elemente in L. Dann wird die Diskriminante von b_1, \ldots ,b_n definiert durch

\triangle (b_1, \ldots ,b_n) = \det( S(b_ib_j)_{i,j} ) \, .
 


Definition: Modul

Sei R ein kommutativer Ring und M = (M, + ,0) eine kommutative Gruppe. Man nennt M einen R-Modul, wenn es eine Operation

R \times M \longrightarrow M, \, (r,v) \longmapsto rv=r\cdot v \, ,
gibt, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien r,s \in R und u,v \in M beliebig):
  1. r(su) = (rs)u,
  2. r(u + v) = (ru) + (rv),
  3. (r + s)u = (ru) + (su),
  4. 1u = u.
 


Definition: Untermodul

Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Eine Teilmenge U\subseteq M heißt Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von M ist und wenn für jedes u \in U und r \in R gilt, dass auch ru \in U ist.

 


Definition: Erzeugendensystem (Modul)

Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Eine Teilmenge v_i \in M, i \in I, heißt Erzeugendensystem für M, wenn es für jedes Element v \in M eine Darstellung

v= \sum_{i \in J} r_i v_i \,
gibt, wobei J \subseteq I endlich ist und r_i \in R.
 


Definition: Endlicher Modul

Sei R ein kommutativer Ring und M ein R-Modul. Der Modul M heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem vi, i \in I, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

 


Definition: Primideal

Ein Ideal \mathfrak p in einem kommutativen Ring R heißt Primideal, wenn \mathfrak p \neq R ist und wenn für r,s \in R mit r \cdot s \in \mathfrak p folgt: r \in \mathfrak p oder s \in \mathfrak p.

 


Definition: Maximales Ideal

Ein Ideal {\mathfrak m} in einem kommutativen Ring R heißt maximales Ideal, wenn {\mathfrak m} \neq R ist und wenn es zwischen {\mathfrak m} und R keine weiteren Ideale gibt.

 


Definition: Ganzheitsgleichung

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Für ein Element x \in S heißt eine Gleichung der Form

x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \ldots + r_1x +r_0 = 0 \, ,
wobei die Koeffizienten r_{i} , \, i=0, \ldots, n-1 , zu R gehören, eine Ganzheitsgleichung für x.
 


Definition: Ganzes Element

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Ein Element x \in S heißt ganz, wenn x eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus R erfüllt.

 


Definition: Ganzer Abschluss

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente x \in S, die ganz über R sind, den ganzen Abschluss von R in S.

 


Definition: Ganze Ringerweiterungen

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Dann heißt S ganz über R, wenn jedes Element x \in S ganz über R ist.

 


Definition: Ganz-abgeschlossen

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Man nennt R ganz-abgeschlossen in S, wenn der ganze Abschluss von R in S gleich R ist.

 


Definition: Normal

Ein

Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem

Quotientenkörper ist.
 


Definition: Normalisierung

Sei R ein Integritätsbereich und Q(R) sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von R in Q(R) die Normalisierung von R.
 


Definition: Zahlbereiche

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von \Z in L den Ring der ganzen Zahlen in L. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

 


Definition: Noethersche Ringe

Ein kommutativer Ring R heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

 


Definition: Dedekindbereiche

Einen Integritätsbereich R nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von null verschiedene Primideal darin maximal ist.

 


Definition: Diskriminante eines Zahlbereichs

Sei R der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung \mathbb Q \subseteq L. Dann nennt man die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von R die Diskriminante von R (und die Diskriminante von L).

 


Definition: Endliche Körper (Notation)

Sei p eine Primzahl und e \in \N_+. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit q = pe Elementen wird mit

{\mathbb F}_q \,
bezeichnet.
 


Definition: Quadratischer Zahlbereich

Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von \mathbb Q vom Grad 2.

 


Definition: quadratfreie Zahl

Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, wenn jeder Primfaktor von ihr nur mit einfachem Exponent vorkommt.
 


Definition: Reell- und imaginär-quadratische Zahlbereiche

Sei D \neq 0,1 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt AD reell-quadratisch, wenn D positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn D negativ ist.

 


Definition: Konjugation

Sei D eine quadratfreie Zahl und sei {\mathbb Q}[\sqrt{D}] die zugehörige quadratische Körpererweiterung und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann wird der Automorphismus (auf \Q[\sqrt{D}], auf \Z[\sqrt{D}] und auf AD)

a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D} \,
als Konjugation bezeichnet.
 


Definition: Norm eines Ideals

Sei D \neq 0,1 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei \mathfrak a ein von Null verschiedenes Ideal in AD. Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes A_D/{\mathfrak a} die Norm von {\mathfrak a}. Sie wird mit

N({\mathfrak a}) \,
bezeichnet.
 


Definition: Multiplikatives System

Sei R ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge S \subseteq R heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. 1 \in S
  2. Wenn f,g \in S, dann ist auch fg \in S

gelten.

 


Definition: Nenneraufnahmme

Sei R ein Integritätsbereich und sei S \subseteq R ein multiplikatives System, 0 \not \in S. Dann nennt man den Unterring

R_S := \left \{ \frac{f}{g}: \, f \in R,\, g \in S \right \} \subseteq Q(R) \,
die Nenneraufnahme zu S.
 


Definition: Lokalisierung

Sei R ein Integritätsbereich und sei {\mathfrak p} ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an S=R -{\mathfrak p} die Lokalisierung von R an {\mathfrak p}. Man schreibt dafür R_{\mathfrak p}. Es ist also

R_{\mathfrak p} := \{ \frac{f}{g} {{|}} \, f \in R,\, g \not\in {\mathfrak p} \} \subseteq Q(R) \, .
 


Definition: Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring R heißt lokal, wenn R genau ein maximales Ideal besitzt.

 


Definition: diskreten Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring R ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in R gibt.
 


Definition: Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element f \in R , \, f \neq 0 , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement p heißt die Zahl n \in \N mit der Eigenschaft f = upn, wobei u eine Einheit bezeichne, die Ordnung von f. Sie wird mit ord(f) bezeichnet.
 


Definition: Hauptdivisor zu Ringelement

Sei R ein Zahlbereich und f \in R, f \neq 0. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal {\mathfrak p} \neq 0 in R die Ordnung \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f) zuordnet, der durch f definierte Hauptdivisor. Er wird mit \operatorname{div} (f) bezeichnet und als formale Summe

\operatorname{div} (f) = \sum_{\mathfrak p} \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f) \cdot {\mathfrak p} \,
geschrieben.
 


Definition: Ordnung an Primstelle

Sei R ein Zahlbereich, {\mathfrak p} \neq 0 ein Primideal in R und f \in R, f \neq 0. Dann heißt die Ordnung ord(f) im diskreten Bewertungsring R_{\mathfrak p} die Ordnung von f am Primideal {\mathfrak p} (oder an der Primstelle {\mathfrak p} oder in R_{\mathfrak p}). Sie wird mit \mathrm{ord}_{\mathfrak p} (f) bezeichnet.

 


Definition: Effektiver Divisor

Sei R ein Zahlbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, ,
die sich über alle Primideale {\mathfrak p} \neq 0 aus R erstreckt und wobei n_{\mathfrak p} natürliche Zahlen sind mit n_{\mathfrak p} = 0 für fast alle {\mathfrak p}.
 


Definition: Effektiver Divisor zu einem Ideal

Sei R ein Zahlbereich und {\mathfrak a} \neq 0 ein von null verschiedenes Ideal in R. Dann nennt man den Divisor

\operatorname{div}({\mathfrak a}) = \sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,
mit
m_{\mathfrak p} = \operatorname{ord}_{\mathfrak p}({\mathfrak a}) = \operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(f) : \, f \in {\mathfrak a},\, f \neq 0 \} \,
den Divisor zum Ideal {\mathfrak a}.
 


Definition: Ideal zu einem effektiven Divisor

Sei R ein Zahlbereich und

D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,
ein effektiver Divisor (wobei {\mathfrak p} durch die Menge der Primideale \neq 0 läuft). Dann nennt man
\{ f \in R: \operatorname{div} (f) \geq D \} \,
das Ideal zum Divisor D. Es wird mit \operatorname{Id} (D) bezeichnet.
 


Definition: Divisor

Sei R ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, ,
die sich über alle Primideale {\mathfrak p} \neq 0 aus R erstreckt und wobei n_{\mathfrak p} ganze Zahlen sind mit n_{\mathfrak p} = 0 für fast alle {\mathfrak p}.
 


Definition: Hauptdivisor

Sei R ein Zahlbereich und q \in Q(R), q \neq 0. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal {\mathfrak p} \neq 0 in R die Ordnung \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (q) zuordnet, der durch q definierte Hauptdivisor. Er wird mit \operatorname{div} (q) bezeichnet und als formale Summe

\operatorname{div} (q) = \sum_{\mathfrak p} \mathrm{ord}_{\mathfrak p} (q) \cdot {\mathfrak p} \,
geschrieben.
 


Definition: Gebrochenes Ideal

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann nennt man einen endlich erzeugten R- Untermodul \mathfrak f des R- Moduls Q(R) ein gebrochenes Ideal.

 


Definition: Gebrochenes Hauptideal

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form \mathfrak f =Rq mit q \in Q(R) ein gebrochenes Hauptideal.

 


Definition: Produkt von gebrochenen Idealen

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann definiert man für gebrochene Ideale \mathfrak f und \mathfrak g das Produkt \mathfrak f \cdot \mathfrak g als den von allen Produkten erzeugten R-Untermodul von Q(R), also

\mathfrak f \cdot \mathfrak g = R \langle g f : \, f \in \mathfrak f,\, g \in \mathfrak g \rangle \, ,
wobei das Produkt in Q(R) zu nehmen ist.
 


Definition: Gebrochenes Ideal zu einem Divisor

Sei R ein Zahlbereich und

D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,
ein Divisor (wobei {\mathfrak p} durch die Menge der Primideale \neq 0 läuft). Dann nennt man
\{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq D \} \,
das gebrochene Ideal zum Divisor D. Es wird mit \operatorname{Id} (D) bezeichnet.
 


Definition: Divisor zu einem gebrochenen Ideal

Sei R ein Zahlbereich und {\mathfrak f} \neq 0 ein von null verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor
\operatorname{div}({\mathfrak f}) = \sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, \,
mit
m_{\mathfrak p} = \operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(f) : \, f \in {\mathfrak f},\, f \neq 0 \} \,
den Divisor zum gebrochenen Ideal {\mathfrak f}.
 


Definition: Divisorenklassengruppe

Sei R ein Zahlbereich. Es sei \operatorname{Div} (R) die Gruppe der Divisoren und H \subseteq \operatorname{Div} (R) sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

\operatorname{KG}(R) = \operatorname{Div} (R)/H \,
die Divisorenklassengruppe von R.
 


Definition: Normeuklidisch

Sei D \neq 0,1 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt AD normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf AD eine euklidische Funktion ist.

 


Definition: Gitter

Seien v_1, \ldots , v_n linear unabhängige Vektoren im \R^n. Dann heißt die Untergruppe \Z v_1 \oplus \ldots \oplus \Z v_n ein Gitter im \R^n.

 


Definition: konvexe Teilmenge

Eine Teilmenge T \subseteq \R^n heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten P,Q \in T auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

rP+(1-r)Q \mbox{ mit } r \in [0,1] \, ,
ebenfalls zu T gehört.

 


Definition: konvexe Hülle

Zu einer Teilmenge U \subseteq \R^n heißt die kleinste konvexe Teilmenge T, die U umfasst, die konvexe Hülle von T.

 


Definition: Grundmasche

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren v_1, \ldots , v_n gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren e_1v_1 + \ldots +e_nv_n mit e_i \in \{0,1\} als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

 


Definition: Zentralsymmetrisch

Eine Teilmenge T \subseteq \R^n heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt P \in T auch der Punkt − P zu T gehört.

 


Definition: Kompaktheit

Ein topologischer Raum X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

X= \bigcup_{i \in I} U_i \, \, \, \text{ mit } U_i \text{ offen und einer beliebigen Indexmenge } \,
eine endliche Teilmenge J \subseteq I gibt derart, dass
X= \bigcup_{i \in J} U_i \,
ist.
 


Definition: Klassenzahl

Sei AD ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von AD die Klassenzahl von AD.

 
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