Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Einige Aufgaben mit Lösungen

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Inhaltsverzeichnis

Aufgabe

Bestimme in {\mathbb Z} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 71894 und 45327.

Lösung:

Der Euklidischen Algorithmus liefert:

71894 = 1 \cdot 45327 + 26567 \,
45327 = 1 \cdot 26567 + 18760 \,
26567 = 1 \cdot 18760 + 7807 \,
18760 = 2 \cdot 7807 + 3146 \,
7807 = 2 \cdot 3146 + 1515 \,
3146 = 2 \cdot 1515 + 116 \,
1515 = 13 \cdot 116 + 7 \,
116 = 16 \cdot 7 + 4 \,
7 = 1 \cdot 4 + 3 \,
4 = 1 \cdot 3 + 1 \, .
Die Zahlen 71894 und 45327 sind also teilerfremd.

 


Aufgabe

Bestimme in {\mathbb Z}[{\mathrm i}] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 5 + 2i und 3 + 7i.

Lösung:

Wir setzen a = 5 + 2i und b = 3 + 7i und führen die Division mit Rest a / b durch. Es ist (in \mathbb C )
\frac{a}{b} = \frac{5+2{\mathrm i}}{3+7{\mathrm i}} = \frac{(5+2{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})}{(3+7{\mathrm i})(3-7{\mathrm i})} = \frac{29-29{\mathrm i}}{58} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\mathrm i} \, .

Für diese Zahl gibt es keine beste ganzzahlige Approximation, und wir können sogar q = 0 nehmen, und erhalten a = 0b + a.

Wir drehen also die Sache um und erhalten

\frac{b}{a} = \frac{3+7{\mathrm i}}{5+2{\mathrm i}} = \frac{(3+7{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})}{(5+2{\mathrm i})(5-2{\mathrm i})} = \frac{29-29{\mathrm i}}{29} = 1 - {\mathrm i} \, .
Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und a teilt b. Also ist a = 5 + 2i der größte gemeinsame Teiler.
 


Aufgabe

Bestimme in {\mathbb Z}[{\mathrm i}] die Primfaktorzerlegung von 8 − i. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

Lösung:

Wir haben (8- {\mathrm i})(8+{\mathrm i}) = 65 = 5 \cdot 13 . Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest 1 modulo 4 und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist 5 = (2 + i)(2 − i) und 13 = (3 + 2i)(3 − 2i), und diese Faktoren sind prim nach

Satz. Die Primfaktorzerlegung von 8 − i muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von 5 und einem Primfaktor von 13 bestehen.

Die eine Möglichkeit ist

(2+{\mathrm i})(3+2{\mathrm i})=4+ 7{\mathrm i} \, ,

die aber nicht zu \, 8- {\mathrm i} \, assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist

(2+{\mathrm i})(3-2{\mathrm i})=8 -{\mathrm i} \, ,
die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
 

Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\left(\frac{53}{311}\right)\, .


Lösungen mit unterschiedlichen Möglichkeiten, die Einzelbegründungen aufzuführen, finden sich hier:

Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung



Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\left(\frac{2333}{3673}\right) \, .

Lösung:

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
  \left(\frac{2333}{3673}\right)   =  
\left(\frac{3673}{2333}\right)2333 hat modulo 4 den Rest 1, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich 1.
  =  
\left(\frac{1340}{2333}\right)Reduktion des Zählers.
||
  =  
\left(\frac{2}{2333}\right) \left(\frac{2}{2333}\right) \left(\frac{335}{2333}\right)Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
||
  =  
\left(\frac{2333}{335}\right)Vorne steht ein Quadrat. 2333 hat modulo 4 den Rest 1, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich 1.
||
  =  
\left(\frac{323}{335}\right)Reduktion des Zählers.
||
  =  
-\left(\frac{335}{323}\right)323 und 335 haben beide modulo 4 den Rest 3, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich  − 1.
||
  =  
-\left(\frac{12}{323}\right)Reduktion des Zählers.
||
  =  
-\left(\frac{2}{323}\right) \left(\frac{2}{323}\right) \left(\frac{3}{323}\right)Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
||
  =  
\left(\frac{323}{3}\right)Vorne steht ein Quadrat. 323 und 3 haben beide modulo 4 den Rest 3, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich − 1.
||
  =  
\left(\frac{2}{3}\right)Reduktion des Zählers.
||
  =  
− 13 = 3 \mod 8, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz 2 kein Quadratrest modulo 3.
||
Also ist 2333 kein Quadratrest modulo 3673.
 


Aufgabe

Sei A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10) der quadratische Zahlbereich zu D = − 10. Berechne den Hauptdivisor zu

q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10}.

Lösung:

Sei R=A_{-10} = \Z[X]/(X^2+10). Wir bringen q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10} auf einen Hauptnenner, also
q= \frac{10 - 3 \sqrt{-10}}{15} .

Der Nenner ist 15=3 \cdot 5. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo 3.

R/(3)= \Z/(3)[X]/(X^2+1).

Das Polynom X2 + 1 hat keine Nullstelle über \Z/(3), also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist (3) ein Primideal in R.

Modulo 5.

R/(5)= \Z/(5)[X]/(X^2).

Das Polynom X2 ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal (X) vor. Diesem Primideal entspricht in R das Primideal {\mathfrak p} =(5, \sqrt{-10}). Es gilt die Idealzerlegung (5)= {\mathfrak p}^2 in R.

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

(10 - 3 \sqrt{-10})(10 + 3 \sqrt{-10})= 100 -9 (-10) =190 =2 \cdot 5 \cdot 19 .

Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo 2.

R/(2)= \Z/(2)[X]/(X^2).

Das Polynom X2 ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal (X) vor. Diesem Primideal entspricht in R das Primideal {\mathfrak q} =(2, \sqrt{-10}). Es gilt die Idealzerlegung (2)= {\mathfrak q}^2 in R.

Modulo 19.

R/(19)= \Z/(19)[X]/(X^2+10).

Das Polynom X2 + 10 ist nicht irreduzibel, es hat die zwei Nullstellen 3 und − 3, und die Zerlegung X2 + 10 = (X + 3)(X − 3). Damit gibt es die beiden Primideale (X − 3) und (X + 3), die den beiden konjugierten Primidealen {\mathfrak m}=(19, -3 + \sqrt{-10}) und \overline{\mathfrak m}=(19, 3 + \sqrt{-10}) entsprechen.

Damit ist

(190) = {\mathfrak q}^2 {\mathfrak p}^2 {\mathfrak m} \overline{\mathfrak m} .

Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In {\mathfrak m} kann man bilden 19 + 3(-3 + \sqrt{-10}) = 10 +3 \sqrt{-10}, so dass 10 -3 \sqrt{-10} zu \overline{\mathfrak m} gehört, und man erhält

(10 -3 \sqrt{-10}) = {\mathfrak q} {\mathfrak p} \overline{\mathfrak m}.

Damit ist der Hauptdivisor gleich

\operatorname{div}(q)= {\mathfrak q} +{\mathfrak p}+ \overline{\mathfrak m} - (3) -2 {\mathfrak p} = {\mathfrak q} + \overline{\mathfrak m} - (3) - {\mathfrak p} .
 
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