Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Liste der Hauptsätze
Aus Wikiversity
Was ist, was besagt, was gilt?: Prim und irreduzibel
In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.
Was ist, was besagt, was gilt?: Euklidischer Bereich ist ...
Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.
Was ist, was besagt, was gilt?: Lemma von Bezout
Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt:
Elemente
besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler d, und dieser lässt sich als Linearkombination der
darstellen, d.h. es gibt Elemente
mit
.
Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
eine Darstellung der 1.
Was ist, was besagt, was gilt?: Lemma von Euklid
Sei R ein Hauptidealbereich und
. Es seien a und b teilerfremd und a teile das Produkt bc. Dann teilt a den Faktor c.
Was ist, was besagt, was gilt?: Prim und irreduzibel in Hauptidealbereich
Sei R ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,
wenn es irreduzibel ist.
Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptidealbereich ist ...
In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit
darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten p, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung
, wobei u eine Einheit ist und die pi Repräsentanten sind.
Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Was ist, was besagt, was gilt?: Einheit modulo n
Genau dann ist
eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in
) wenn a und n teilerfremd sind.
Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenkörper von 
Was ist, was besagt, was gilt?: Kleiner Fermat
Für eine Primzahl p und eine beliebige ganze Zahl a gilt
Was ist, was besagt, was gilt?: Chinesischer Restsatz
Sei n eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
(die pi seien also verschieden und
).
Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
einen Isomorphismus
Zu einer gegebenen ganzen Zahl
gibt es also genau eine natürliche Zahl a < n, die die simultanen Kongruenzen
Was ist, was besagt, was gilt?: Eine endliche Untergruppe eines Körpers ist ...
Sei
eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers K.
Dann ist U zyklisch.
Was ist, was besagt, was gilt?: Einheitengruppe modulo Primzahl
Sei p eine Primzahl.
Dann ist die Einheitengruppe
zyklisch der Ordnung p − 1.
Es gibt also (sogenannte primitive) Elemente g mit der Eigenschaft, dass die Potenzen gi,
, alle Einheiten durchlaufen.
Was ist, was besagt, was gilt?: Einheitengruppe modulo Primzahlpotenz
Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenringe von
mit zyklischer Einheitengruppe
Was ist, was besagt, was gilt?: Wann ist − 1 ein Quadrat?
Sei p eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.
Für p = 2 ist − 1 = 1 ein Quadrat in
.
Für
ist − 1 ein Quadrat in
.
Für
ist − 1 kein Quadrat in
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Anzahl von Quadratresten
Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gibt es
quadratische Reste modulo p und
nichtquadratische Reste modulo p.
Was ist, was besagt, was gilt?: Euler-Kriterium
Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu p teilerfremde Zahl k die Gleichheit
Was ist, was besagt, was gilt?: Quadratisches Reziprozitätsgesetz
Seien p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
Was ist, was besagt, was gilt?: 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz
Für eine ungerade Primzahl p gilt:
Was ist, was besagt, was gilt?: 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz
Für eine ungerade Primzahl p gilt:
Was ist, was besagt, was gilt?: Primelemente in Gaußschen Zahlen
Sei p ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- p ist die Summe von zwei Quadraten, p = x2 + y2 mit
. - p ist die Norm eines Elementes aus
. - p ist zerlegbar (nicht prim) in
. - − 1 ist ein Quadrat in
. 
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Quadratsummen
Sei n eine positive natürliche Zahl. Schreibe n = r2m, wobei jeder Primfaktor von m nur einfach vorkomme. Dann ist n die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von m nur 2 und Primzahlen vorkommen, die modulo 4 den Rest 1 haben.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von pythagoreischen Tripel
Sei (x,y,z) ein pythagoreisches Tripel mit y gerade und
. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen (u,v) mit u > 0 und
und mit
Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Fermat-Euler
Die diophantische Gleichung
Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Euklid (Primzahlen)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Euler über Primzahlkehrwerte
Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also
Was ist, was besagt, was gilt?: Der Primzahlsatz
Es gilt die asymptotische Abschätzung
Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen
Sei n eine natürliche Zahl und a eine zu n teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo n den Rest a haben.
Was ist, was besagt, was gilt?: Ungleichungen von Tschebyschow
Es gibt Konstanten C > c > 0 derart, dass die Primzahlfunktion π(x) für alle x den Abschätzungen
Was ist, was besagt, was gilt?: Bertrandsches Postulat
Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Primzahl zwischen n + 1 und 2n.
Was ist, was besagt, was gilt?: Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen
Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn n = 2k − 1(2k − 1) ist mit 2k − 1 prim.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Carmichael-Zahlen
Eine natürliche nicht-prime Zahl
ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für jeden Primteiler p von n gilt, dass p − 1 die Zahl n − 1 teilt und dass er einfach vorkommt.
Was ist, was besagt, was gilt?: Norm und Spur im Minimalpolynom
Sei
eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad n. Dann hat das Minimalpolynom P von f die Gestalt
Was ist, was besagt, was gilt?: Transformation der Diskriminante
Sei
eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und seien
und
zwei K-Basen von L. Der Basiswechsel werde durch c = Tb mit der Übergangsmatrix T = (tij)ij beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Primidealen
Sei R ein kommutativer Ring und
ein Ideal in R.
Dann ist
ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring
ein Integritätsbereich ist.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung vom maximalen Idealen
Sei R ein kommutativer Ring und
ein Ideal in R.
Dann ist
ein maximales Ideal genau dann, wenn der Restklassenring
ein Körper ist.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von ganzen Elementen
Seien R und S kommutative Ringe und
eine Ringerweiterung. Für ein Element
sind folgende Aussagen äquivalent.
- x ist ganz über R.
- Es gibt eine R-Unteralgebra T von S mit
und die ein endlicher R-Modul ist. - Es gibt einen endlichen R-Untermodul M von S, der einen Nichtnullteiler aus S enthält, mit
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Faktorieller Ring ist ...
Sei R ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist R normal.
Was ist, was besagt, was gilt?: Wurzeln aus Zahlen
Sei
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl n. Sei k eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten αi ein Vielfaches von k sind. Dann ist die reelle Zahl
Was ist, was besagt, was gilt?: Ganzheitsring (Zahlbereich) ist ...
Sei R ein Zahlbereich. Dann ist R ein normaler Integritätsbereich.
Was ist, was besagt, was gilt?: Ideal in Ganzheitsring enthält ...
Sei R ein Zahlbereich. Dann enthält jedes von null verschiedene Ideal
in R eine Zahl
mit
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von ganz
Sei R ein Zahlbereich und sei
. Dann ist f genau dann ganz über
, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von f über
alle ganzzahlig sind.
Was ist, was besagt, was gilt?: Additive Struktur von Idealen in Zahlbereichen
Sei
eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Sei
ein von null verschiedenes Ideal in R. Dann ist
eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente
mit
Was ist, was besagt, was gilt?: Additive Struktur der Zahlbereiche
Sei
eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Dann ist R eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente
mit
Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenringe von Zahlbereichen
Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von R endlich.
Was ist, was besagt, was gilt?: Primideale in Zahlbereichen
Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jedes von null verschiedene Primideal von R bereits ein maximales Ideal.
Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptidealbereiche sind ...
Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptsatz über endliche Körper
Sei p eine Primzahl und
.
Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit q = pe Elementen.
Was ist, was besagt, was gilt?: Struktur quadratischer Zahlbereiche
Was ist, was besagt, was gilt?: Diskriminante quadratischer Zahlbereiche
Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von AD gleich
Was ist, was besagt, was gilt?: Primzahlen aus
in quadratischen Zahlbereichen
Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl p die folgenden drei Möglichkeiten:
- p ist prim in AD.
- Es gibt ein Primideal
in AD derart, dass
ist. - Es gibt ein Primideal
in AD derart, dass
ist mit
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Norm von Element und Ideal
Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei
ein Element. Setze
. Dann gilt
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Norm und konjugiertes Ideal
Was ist, was besagt, was gilt?: Durchschnitt von Lokalisierungen
Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper Q(R).
Dann gilt
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von diskreten Bewertungsringen
Sei R ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale
gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- R ist ein diskreter Bewertungsring.
- R ist ein Hauptidealbereich.
- R ist faktoriell.
- R ist normal.
ist ein Hauptideal.
Was ist, was besagt, was gilt?: Lokalisierungen von Dedekindbereichen
Sei R ein Dedekindbereich und sei
ein maximales Ideal in R.
Dann ist die Lokalisierung
Was ist, was besagt, was gilt?: Ideale und effektive Divisoren
Sei R ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen
Was ist, was besagt, was gilt?: Idealzerlegungssatz von Dedekind
Sei R ein Zahlbereich und
ein Ideal in R. Dann gibt es eine Produktdarstellung
aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri,
.Was ist, was besagt, was gilt?: Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen
Sei R ein Zahlbereich und
,
. Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal
aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri,
.Was ist, was besagt, was gilt?: Divisoren und gebrochene Ideale
Sei R ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.
- Sei
ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung
mit
und einem Ideal
. Dann ist
- Zu einem Divisor D gibt es ein
derart, dass
effektiv ist. - Zu einem Divisor D mit
effektiv ist
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe
Sei R ein Zahlbereich und es bezeichne
die Divisorenklassengruppe von R. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- R ist ein Hauptidealbereich.
- R ist faktoriell.
- Es ist
.
Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von normeuklidischen imaginär-quadratischen Zahlbereichen
Sei D < 0 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- AD ist euklidisch.
- AD ist normeuklidisch.
- D = − 1, − 2, − 3, − 7, − 11.
Was ist, was besagt, was gilt?: Gitterpunktsatz von Minkowski
Sei Γ ein Gitter im
mit Grundmasche
. Es sei T eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in
, die zusätzlich die Volumenbedingung
Was ist, was besagt, was gilt?: Klassenzahl von quadratischen Zahlbereichen
Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Klassengruppe von R eine endliche Gruppe.
Was ist, was besagt, was gilt?: Potenz von Idealen in quadratischen Zahlbereichen
Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich und sei
ein Ideal in R. Dann gibt es ein
derart, dass
ein Hauptideal ist.
Was ist, was besagt, was gilt?: Faktorialitätskriterium für quadratische Zahlbereiche
Sei D eine quadratfreie Zahl und sei AD der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante
. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl p mit
ist genau dann ein 


eine Primzahl und
. Dann ist die 
ist genau dann 
ist.














![A_D = {\mathbb Z}[\sqrt{D}], \mbox{ wenn } D= 2,3 \mod 4 \,](http://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/db1239f2084e1158295353a4c3a381ec.png)
![A_D= {\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}], \mbox{ wenn } D= 1 \mod 4 \, .](http://upload.wikimedia.org/math/2/7/a/27a65170df2404af9e0fdab57b5fb79f.png)











