Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Liste der Hauptsätze

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Inhaltsverzeichnis

Was ist, was besagt, was gilt?: Prim und irreduzibel

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Euklidischer Bereich ist ...

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Lemma von Bezout

Sei R ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente a_1 , \ldots , a_n besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler d, und dieser lässt sich als Linearkombination der a_1 , \ldots , a_n darstellen, d.h. es gibt Elemente r_1, \ldots, r_n \in R mit r_1a_1+r_2a_2+ \ldots + r_na_n=d.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente a_1 , \ldots , a_n eine Darstellung der 1.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Lemma von Euklid

Sei R ein Hauptidealbereich und a , b , c \in R. Es seien a und b teilerfremd und a teile das Produkt bc. Dann teilt a den Faktor c.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Prim und irreduzibel in Hauptidealbereich

Sei R ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptidealbereich ist ...

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit a \neq 0 darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten p, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung a = u \cdot p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}, wobei u eine Einheit ist und die pi Repräsentanten sind.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Einheit modulo n

Genau dann ist a \in {\mathbb Z} eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in \Z/(n)) wenn a und n teilerfremd sind.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenkörper von \Z

Der Restklassenring {\mathbb Z}/(n) ist genau dann ein Körper,

wenn n eine Primzahl ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Kleiner Fermat

Für eine Primzahl p und eine beliebige ganze Zahl a gilt

a^p\equiv a\mod p \, .
Anders ausgedrückt: ap − a ist durch p teilbar.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Chinesischer Restsatz

Sei n eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} {\cdots } p_k^{r_k} (die pi seien also verschieden und r_i \geq 1).

Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \Z/(n) \rightarrow \Z/(p_i^{r_i} ) einen Isomorphismus

{\mathbb Z}/(n) \cong {\mathbb Z}/({p_1^{r_1} }) \times {\mathbb Z}/({p_2^{r_2} }) \times \cdots \times {\mathbb Z}/({p_k^{r_k} }) \, .

Zu einer gegebenen ganzen Zahl (a_1,a_2, \ldots, a_k) gibt es also genau eine natürliche Zahl a < n, die die simultanen Kongruenzen

a= a_1 \mod p_1^{r_1}, \,\, a= a_2 \mod p_2^{r_2}, \, \ldots , \,\, a= a_k \mod p_k^{r_k} \,
löst.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Eine endliche Untergruppe eines Körpers ist ...

Sei U \subseteq K^\times eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers K.

Dann ist U zyklisch.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Einheitengruppe modulo Primzahl

Sei p eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ( \Z/(p))^{\times} zyklisch der Ordnung p − 1.

Es gibt also (sogenannte primitive) Elemente g mit der Eigenschaft, dass die Potenzen gi, i=0,1 , \ldots , p-2, alle Einheiten durchlaufen.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Einheitengruppe modulo Primzahlpotenz

Sei p \geq 3 eine Primzahl und r \geq 1. Dann ist die Einheitengruppe

({\mathbb Z}/(p^r))^\times \,
des Restklassenrings {\mathbb Z}/(p^r) zyklisch.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenringe von \Z mit zyklischer Einheitengruppe

Die Einheitengruppe ({\mathbb Z}/(n))^\times ist genau dann zyklisch, wenn

n=1,2,4,p^s,2p^s \,
ist, wobei p eine ungerade Primzahl und s \geq 1 ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Wann ist − 1 ein Quadrat?

Sei p eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen.

Für p = 2 ist − 1 = 1 ein Quadrat in {\mathbb Z}/(2).

Für p =1 \! \! \! \! \mod 4 ist − 1 ein Quadrat in {\mathbb Z}/(p).

Für p = 3 \! \! \! \! \mod 4 ist − 1 kein Quadrat in {\mathbb Z}/(p).

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Anzahl von Quadratresten

Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gibt es \frac{p+1}{2} quadratische Reste modulo p und \frac{p-1}{2} nichtquadratische Reste modulo p.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Euler-Kriterium

Sei p eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu p teilerfremde Zahl k die Gleichheit

\left(\frac{k}{p}\right) = k^{ \frac{p-1}{2} } \mod p \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Seien p und q zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:

\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) =(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}=\left\{\begin{matrix}-1&\text{wenn}& p = q = 3 \mod 4 \\ 1&\text{sonst.}&\end{matrix} \right. \, \,
 


Was ist, was besagt, was gilt?: 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl p gilt:

\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} } =\left\{\begin{matrix}1&\mbox{falls}& p = 1 \mod 4 \\ -1 & \mbox{sonst} & \mbox{(also }p = -1 \mod 4\mbox{)}& \, .\end{matrix}\right. \,
 


Was ist, was besagt, was gilt?: 2. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

Für eine ungerade Primzahl p gilt:

\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8} } =\left\{\begin{matrix}1&\mbox{falls} & p = \pm 1 \mod 8 \\ -1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p = \pm 3 \mod8\mbox{)}&\, .\end{matrix}\right. \,
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Primelemente in Gaußschen Zahlen

Sei p ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. p ist die Summe von zwei Quadraten, p = x2 + y2 mit x,y \in {\mathbb Z}.
  2. p ist die Norm eines Elementes aus {\mathbb Z}[{\mathrm i}].
  3. p ist zerlegbar (nicht prim) in {\mathbb Z}[{\mathrm i}].
  4. − 1 ist ein Quadrat in {\mathbb Z}/(p).
  5. p=1 \mod 4
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Quadratsummen

Sei n eine positive natürliche Zahl. Schreibe n = r2m, wobei jeder Primfaktor von m nur einfach vorkomme. Dann ist n die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von m nur 2 und Primzahlen vorkommen, die modulo 4 den Rest 1 haben.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von pythagoreischen Tripel

Sei (x,y,z) ein pythagoreisches Tripel mit y gerade und z \neq -x. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen (u,v) mit u > 0 und a\in \Z und mit

x = a(u^2-v^2), \, y = a(2uv),\, z=a(u^2+v^2) \, .
Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn a eine Einheit ist und u und v nicht beide ungerade sind.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Fermat-Euler

Die diophantische Gleichung

x^4+y^4=z^2 \,
hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Euklid (Primzahlen)

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Euler über Primzahlkehrwerte

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

\sum_{p \in {\mathbb P} } \frac{1}{p} \,
divergiert.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Der Primzahlsatz

Es gilt die asymptotische Abschätzung

\pi(x) \sim \frac{x}{\ln (x)} \, .
Das heißt, dass
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} } = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x} =1 \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen

Sei n eine natürliche Zahl und a eine zu n teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo n den Rest a haben.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Ungleichungen von Tschebyschow

Es gibt Konstanten C > c > 0 derart, dass die Primzahlfunktion π(x) für alle x den Abschätzungen

c \frac{x}{\ln(x)} \leq \pi(x) \leq C \frac{x}{\ln(x)} \,
genügt.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Bertrandsches Postulat

Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Primzahl zwischen n + 1 und 2n.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen

Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn n = 2k − 1(2k − 1) ist mit 2k − 1 prim.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Carmichael-Zahlen

Eine natürliche nicht-prime Zahl n \geq 2 ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für jeden Primteiler p von n gilt, dass p − 1 die Zahl n − 1 teilt und dass er einfach vorkommt.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Norm und Spur im Minimalpolynom

Sei K \subseteq L=K[f] eine einfache endliche Körpererweiterung vom Grad n. Dann hat das Minimalpolynom P von f die Gestalt

P = X^n- S(f)X^{n-1} + \ldots + (-1)^n N(f) \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Transformation der Diskriminante

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und seien b_1,\ldots ,b_n und c_1, \ldots ,c_n zwei K-Basen von L. Der Basiswechsel werde durch c = Tb mit der Übergangsmatrix T = (tij)ij beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

\triangle (c_1, \ldots ,c_n) = (\det( T))^2 \triangle (b_1, \ldots ,b_n) \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von Primidealen

Sei R ein kommutativer Ring und \mathfrak p ein Ideal in R.

Dann ist \mathfrak p ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring R/{\mathfrak p} ein Integritätsbereich ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung vom maximalen Idealen

Sei R ein kommutativer Ring und {\mathfrak m} ein Ideal in R.

Dann ist {\mathfrak m} ein maximales Ideal genau dann, wenn der Restklassenring R/{\mathfrak m} ein Körper ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von ganzen Elementen

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Für ein Element x \in S sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. x ist ganz über R.
  2. Es gibt eine R-Unteralgebra T von S mit x \in T und die ein endlicher R-Modul ist.
  3. Es gibt einen endlichen R-Untermodul M von S, der einen Nichtnullteiler aus S enthält, mit xM \subseteq M.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Faktorieller Ring ist ...

Sei R ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist R normal.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Wurzeln aus Zahlen

Sei n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl n. Sei k eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten αi ein Vielfaches von k sind. Dann ist die reelle Zahl

n^{\frac{1}{k} } \,
irrational.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Ganzheitsring (Zahlbereich) ist ...

Sei R ein Zahlbereich. Dann ist R ein normaler Integritätsbereich.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Ideal in Ganzheitsring enthält ...

Sei R ein Zahlbereich. Dann enthält jedes von null verschiedene Ideal \mathfrak a in R eine Zahl m \in \mathbb{Z} mit m \neq 0.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von ganz

Sei R ein Zahlbereich und sei f \in Q(R)=L. Dann ist f genau dann ganz über \Z, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von f über \mathbb Q alle ganzzahlig sind.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Additive Struktur von Idealen in Zahlbereichen

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Sei \mathfrak a ein von null verschiedenes Ideal in R. Dann ist \mathfrak a eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b_1, \ldots ,b_n \in \mathfrak a mit

\mathfrak a = \Z b_1 + \ldots +\Z b_n \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Additive Struktur der Zahlbereiche

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Dann ist R eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b_1, \ldots ,b_n \in R mit

R = \Z b_1 + \ldots +\Z b_n \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Zahlbereiche sind ...

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Restklassenringe von Zahlbereichen

Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von R endlich.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Primideale in Zahlbereichen

Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jedes von null verschiedene Primideal von R bereits ein maximales Ideal.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptidealbereiche sind ...

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Hauptsatz über endliche Körper

Sei p eine Primzahl und e \in \N_+.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit q = pe Elementen.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Struktur quadratischer Zahlbereiche

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gilt

A_D = {\mathbb Z}[\sqrt{D}], \mbox{ wenn } D= 2,3 \mod 4 \,
und
A_D= {\mathbb Z}[\frac{1+\sqrt{D} }{2}], \mbox{ wenn } D= 1 \mod 4 \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Diskriminante quadratischer Zahlbereiche

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von AD gleich

\triangle = 4D , \mbox{ wenn } D= 2,3 \mod 4 \,
und
\triangle =D, \mbox{ wenn } D= 1 \mod 4 \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Primzahlen aus \Z in quadratischen Zahlbereichen

Sei D eine quadratfreie Zahl und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl p die folgenden drei Möglichkeiten:

  1. p ist prim in AD.
  2. Es gibt ein Primideal \mathfrak p in AD derart, dass (p)= \mathfrak{p}^2 ist.
  3. Es gibt ein Primideal \mathfrak p in AD derart, dass (p)= \mathfrak{p} \bar{\mathfrak{p} } ist mit {\mathfrak p} \neq \bar{ {\mathfrak p} }.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Norm von Element und Ideal

Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei f \neq 0 ein Element. Setze \mathfrak a =(f). Dann gilt N({\mathfrak a})= {{|}}N(f){{|}}.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Norm und konjugiertes Ideal

Sei AD ein quadratischer Zahlbereich und sei \mathfrak a ein von Null verschiedenes Ideal in AD.

Dann gilt

{\mathfrak a }\bar{ \mathfrak a} =(N({\mathfrak a})) \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Durchschnitt von Lokalisierungen

Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper Q(R).

Dann gilt

R= \bigcap_{{\mathfrak m} \mbox{ maximal }} R_{\mathfrak m} \, ,
wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in Q(R) genommen wird.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von diskreten Bewertungsringen

Sei R ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale 0 \subset {\mathfrak m} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. R ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. R ist ein Hauptidealbereich.
  3. R ist faktoriell.
  4. R ist normal.
  5. \mathfrak m ist ein Hauptideal.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Lokalisierungen von Dedekindbereichen

Sei R ein Dedekindbereich und sei {\mathfrak m} ein maximales Ideal in R.

Dann ist die Lokalisierung

R_{\mathfrak m} \,
ein diskreter Bewertungsring.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Ideale und effektive Divisoren

Sei R ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen

{\mathfrak a} \longmapsto \operatorname{div}({\mathfrak a}) \, \, \, \mbox{ und } \, \, \, D \longmapsto \operatorname{Id}(D) \,
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von null verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren. Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Idealzerlegungssatz von Dedekind

Sei R ein Zahlbereich und {\mathfrak a} \neq 0 ein Ideal in R. Dann gibt es eine Produktdarstellung

{\mathfrak a} = {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} \,
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen {\mathfrak p}_i \neq 0 aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri, i = 1, \ldots , k.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen

Sei R ein Zahlbereich und f \in R, f \neq 0. Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

(f) = {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} \,
mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen {\mathfrak p}_i \neq 0 aus R und eindeutig bestimmten Exponenten ri, i = 1, \ldots , k.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Divisoren und gebrochene Ideale

Sei R ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Sei \mathfrak f ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung {\mathfrak f}=\frac{ {\mathfrak a} }{h} mit h \in R und einem Ideal {\mathfrak a} \subseteq R. Dann ist
    \operatorname{div}({\mathfrak f}) = \operatorname{div}(a) - \operatorname{div}(h) \, .
  2. Zu einem Divisor D gibt es ein h\in R derart, dass D+ \operatorname{div}(h) effektiv ist.
  3. Zu einem Divisor D mit E= D+ \operatorname{div}(h) effektiv ist
    \operatorname{Id}(D) = \frac{ \operatorname{Id}(E)}{h} \, .
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von faktoriell mit Divisorenklassengruppe

Sei R ein Zahlbereich und es bezeichne \operatorname{KG}(R) die Divisorenklassengruppe von R. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. R ist ein Hauptidealbereich.
  2. R ist faktoriell.
  3. Es ist \operatorname{KG}(R) = 0.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Charakterisierung von normeuklidischen imaginär-quadratischen Zahlbereichen

Sei D < 0 quadratfrei und AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. AD ist euklidisch.
  2. AD ist normeuklidisch.
  3. D = − 1, − 2, − 3, − 7, − 11.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Gitterpunktsatz von Minkowski

Sei Γ ein Gitter im \R^n mit Grundmasche \mathfrak M. Es sei T eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in \R^n, die zusätzlich die Volumenbedingung

\operatorname{Vol} (T) \geq 2^n\operatorname{Vol} ({\mathfrak M}) \,
erfülle. Dann enthält T mindestens einen von null verschiedenen Gitterpunkt.
 


Was ist, was besagt, was gilt?: Klassenzahl von quadratischen Zahlbereichen

Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich. Dann ist die Klassengruppe von R eine endliche Gruppe.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Potenz von Idealen in quadratischen Zahlbereichen

Sei R = AD ein quadratischer Zahlbereich und sei \mathfrak a ein Ideal in R. Dann gibt es ein n \geq 1 derart, dass {\mathfrak a}^n ein Hauptideal ist.

 


Was ist, was besagt, was gilt?: Faktorialitätskriterium für quadratische Zahlbereiche

Sei D eine quadratfreie Zahl und sei AD der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante \triangle. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl p mit

p \leq \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,
in AD eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist AD faktoriell.
 
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