Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Probeklausur

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Vorlesung zur Zahlentheorie (Osnabrück 2008)
Probeklausur

Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in der noch nicht geschrieben werden darf. Hilfsmittel: Erlaubt ist lediglich ein DinA4-Blatt (zweiseitig) mit beliebigem Inhalt. Kein Taschenrechner etc. Alle Antworten sind zu begründen. Es gibt insgesamt 64 Punkte. Zum Bestehen braucht man 16 Punkte und für eine Eins braucht man 32 Punkte. Viel Glück!

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\left(\frac{1117}{1861}\right) .
Bemerkung: 1117 und 1861 sind Primzahlen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in {\mathbb Z}[{\mathrm i}] mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 23 + 2i und 1 + 23i.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in \Z/(11) und in \Z/(121) . Man gebe ferner ein Element der Ordnung 10 und ein Element der Ordnung 11 in \Z/(121) an. Gibt es Elemente der Ordnung 10 und der Ordnung 11 auch in {\mathbb F}_{121}?


Aufgabe (6 Punkte)

Sei R =A_{14}=\Z[\sqrt{14}] der quadratische Zahlbereich zu D = 14. Berechne zu

q= \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
den zugehörigen Hauptdivisor.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei p eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe (\Z/(p))^\times zyklisch ist, dass − 1 ein Quadratrest modulo p genau dann ist, wenn p=1 \mod 4 ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom P \in {\mathbb Q}[X] an, das nicht zu \Z[X] gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl n gilt: P(n) \in \Z.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei p eine Primzahl, q = pe mit e \geq 1 und sei {\mathbb F}_q der Körper mit q Elementen und R={\mathbb F}_q[X] der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring R/{\mathfrak a} zu einem Ideal {\mathfrak a} \neq 0 endlich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal {\mathfrak f} \subseteq \Q, das durch die rationalen Zahlen

\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\, \,
erzeugt wird.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit 6 Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs A − 7. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

f= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von f.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei D eine quadratfreie Zahl mit D=1 \mod 4, und sei AD der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für \frac{1 - \sqrt{D}}{2} über \Z an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe \Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: für eine Primzahl p ist die Mersennesche Zahl Mp quasiprim zur Basis 2.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist. Erläutere dabei die relevanten Begriffe.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei D eine quadratfreie Zahl und sei AD ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element f \in {\mathbb Q}[\sqrt{D}] und zu einem Element f \in A_D. Definiere zu einem Ideal \mathfrak a \neq 0 das konjugierte Ideal \overline{\mathfrak a} und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass \mathfrak a und \overline{\mathfrak a} in der Klassengruppe invers zueinander sind.


Aufgabe (8 Punkte)

Sei K ein Körper und sei

\nu :(K^\times, \cdot,1) \longrightarrow (\Z,+,0) \,
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit \nu(f+g) \geq \min\{ \nu(f) , \nu(g)\} für alle f,g \in K^\times. Zeige, dass
R=\{f \in K^\times :\, \nu(f) \geq 0 \} \cup \{0\} \,
ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei R ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element f \in R, f \neq 0, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


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