Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 15

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Inhaltsverzeichnis

Bevor wir uns mit algebraischer Zahlentheorie, insbesondere mit quadratischen Zahlbereichen, genauer beschäftigen können, brauchen wir einige neue algebraische Begriffe. Zur Motivation betrachten wir das folgende kommutative Diagramm.

\begin{matrix}\mathbb Z & \longrightarrow & \Z[i] \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb Q & \longrightarrow & \mathbb Q[i] \end{matrix} \,
In der unteren Zeile stehen Körper, und zwar ist \mathbb Q \subset \mathbb Q[i] eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei. Ferner ist \mathbb Q der kleinste Körper, der die ganzen Zahlen \Z enthält, und ebenso ist \mathbb Q[i] der kleinste Körper, der die Gaußschen Zahlen \Z[i] enthält. Die Gaußschen Zahlen sind, in einem zu präzisierenden Sinne, die ganzen Zahlen im Körper \mathbb Q[i].

Dies ist nicht selbstverständlich. Betrachten wir stattdessen die Körpererweiterung \mathbb Q \subset \mathbb Q[\sqrt{-3}] (ebenfalls vom Grad zwei), was ist dann der Ring der ganzen Zahlen?

\begin{matrix} \mathbb Z & \longrightarrow & \Z[\sqrt{-3}] & \longrightarrow & \Z[\omega] \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb Q & \longrightarrow & \mathbb Q[\sqrt{-3}] & = & \mathbb Q[\sqrt{-3}] \end{matrix} \,
Hier ist \omega = \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2} und \Z[\omega] ist der Ring der Eisenstein-Zahlen, den wir in der zweiten Vorlesung kennengelernt haben. Für die beiden Ringe \Z[\sqrt{-3}] und \Z[\omega] ist \mathbb Q[\sqrt{-3}] der kleinste sie enthaltende Körper. Auf den ersten Blick wirkt vermutlich \Z[\sqrt{-3}] natürlicher. Andererseits ist der Ring der Eisenstein-Zahlen euklidisch und damit faktoriell, hat also deutlich bessere Eigenschaften.

Im Folgenden werden wir bestimmen, was für eine beliebige endliche Körpererweiterung \Q \subseteq L der richtige Ganzheitsring in L ist. Zuerst präzisieren wir, was wir eben dadurch beschrieben haben, dass \mathbb Q der kleinste Körper ist, der \Z enthält.


Definition (Quotientenkörper)  

Zu einem Integritätsbereich R ist der Quotientenkörper Q(R) definiert als die Menge der formalen Brüche

Q(R) = \{ \frac{r}{s}:\, r, s \in R, \, s \neq 0 \} \,
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen.

Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die (Erweiterungs- bzw. Kürzungs-)Regel

\frac{r}{s} = \frac{tr}{ts} (t \neq 0 ) \, .
Für die Operationen gelten
\frac{r}{s} + \frac{t}{u} = \frac{ru+ts}{su} \,
(auf Hauptnenner bringen) und
\frac{r}{s} \cdot \frac{t}{u} = \frac{rt}{su} \, .
Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element \frac{r}{s} \neq 0 ist \frac{s}{r} das Inverse.

Der Integritätsbereich R findet sich in Q(R) wieder durch die Elemente \frac{r}{1}. Diese natürliche Inklusion

R \subseteq Q(R) \,
ist ein Ringhomomorphismus. Das Element r=\frac{r}{1} hat bei r \neq 0 das Inverse \frac{1}{r}. Zwischen R und Q(R) gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu r \neq 0 das (eindeutig bestimmte) Inverse \frac{1}{r} enthalten und dann aber auch alle Produkte s \frac{1}{r} = \frac{s}{r}.

Definition (Algebra)  

Seien R und A kommutative Ringe und sei R \rightarrow A ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man A eine R-Algebra.

Wenn eine R-Algebra vorliegt so nennt man den zugehörigen Ringhomomorphismus auch den Strukturhomomorphismus. Das vielleicht wichtigste Beispiel einer R-Algebra ist der Polynomring R[X]. Ein R-Algebra-Homomorphismus von R[X] in eine weitere R-Algebra B ist gegeben durch die Zuordnung X \mapsto f, wobei f \in B ein Element ist. Diese Abbildung nennt man den Einsetzungshomomorphismus. Er schickt ein Polynom

∑ riXi
i = 0

, r_i \in R, auf \sum_{i=0} r_if^{i} \in B, wobei die ri via dem Strukturhomomorphismus als Elemente in B aufgefasst werden.


Definition (Algebraische Elemente)  

Sei K ein Körper und A eine kommutative K-Algebra. Es sei f \in A ein Element. Dann heißt f algebraisch über K, wenn es ein von null verschiedenes Polynom P \in K[X] gibt mit P(f) = 0.

Wenn ein Polynom P \neq 0 das algebraische Element f \in A annulliert (also P(f) = 0 ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom. Über einem Körper sind also die Begriffe ganz (später) und algebraisch äquivalent.


Definition (Minimalpolynom)  

Sei K ein Körper und A eine kommutative K-Algebra. Es sei f \in A ein über K algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom P \in K[X] mit P(f) = 0 und vom minimalen Grad mit dieser Eigenschaft, das Minimalpolynom von f.

Die über den rationalen Zahlen \mathbb Q algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.


Definition (Algebraische Zahlen)  

Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen \mathbb Q ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung (Algebraische und transzendente Zahlen)  

Eine komplexe Zahl z \in \mathbb C ist genau dann algebraisch, wenn es ein von null verschiedenes Polynom P mit rationalen Koeffizienten gibt mit P(z) = 0. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl q ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms X − q ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen \sqrt{q} und q1 / n für q \in \mathbb Q algebraisch. Dagegen sind die Zahlen e und π nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von π wurde beispielsweise von Lindemann 1882 gezeigt



Definition (Körpererweiterungen)  

Sei L ein Körper und K \subseteq L ein Unterkörper von L. Dann heißt L ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von K und die Inklusion K \subseteq L heißt eine Körpererweiterung.

Eine K-Algebra A kann man stets in natürlicher Weise als Vektorraum über dem Körper K auffassen (ist K kein Körper, so ist eine K-Algebra ein K-Modul. Die Skalarmultiplikation wird dabei einfach über den Strukturhomomorphismus erklärt. Durch den Vektorraumbegriff hat man sofort die folgenden Begriffe zur Verfügung.


Definition (Endliche Körpererweiterungen)  

Eine Körpererweiterung K \subseteq L heißt endlich, wenn L ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K ist.


Definition (Grad)  

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die K-(Vektorraum-)Dimension von L den Grad der Körpererweiterung.

Ein Element f \in L einer Körpererweiterung K\subseteq L definiert durch Multiplikation eine K-lineare Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L , \, y \longmapsto fy \, .
Über diese Konstruktion werden Norm und Spur von f erklärt.

Bemerkung (Berechnung von Determinante und Spur einer linearen Abbildung)  

Zu einer linearen Abbildung

\varphi:V \longrightarrow V \,
eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V in sich wird die Determinante \det (\varphi) und die Spur S(\varphi) wie folgt berechnet. Man wählt eine K-Basis v_1, \ldots, v_n \in V und repräsentiert die lineare Abbildung bezüglich dieser Basis durch eine quadratische n \times n-Matrix
\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,n} \end{pmatrix} \,
mit \lambda_{ij} \in K und rechnet dann die Determinante aus. Es folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, dass dies unabhängig von der Wahl der Basis ist. Die Spur ist gegeben durch
S(\varphi)= \lambda_{1,1}+ \lambda_{2,2} + \ldots + \lambda_{n,n} \, ,
und dies ist ebenfalls unabhängig von der Wahl der Basis. Norm und Spur sind Elemente aus K.



Definition (Norm)  

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element f \in L nennt man die Determinante der K-linearen Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L , \, y \longmapsto fy \, ,
die Norm von f. Sie wird mit N(f) bezeichnet.

Definition (Spur)  

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element f \in L nennt man die Spur der K-linearen Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L,\, y \longmapsto fy, \,
die Spur von f. Sie wird mit S(f) bezeichnet.



Lemma  

Sei K \subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition. Dann hat die Norm

N:L \longrightarrow K,\, f \longmapsto N(f), \,
folgende Eigenschaften:
  1. Es ist N(fg) = N(f)N(g).
  2. Für f \in K ist N(f) = fn, wobei n den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
  3. Es ist N(f) = 0 genau dann, wenn f = 0 ist.

Beweis  

  1. Folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
  2. Zu einer beliebigen Basis von L wird die Multiplikation mit einen Element aus K durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag f ist. Die Determinante ist dann fn.
  3. Die eine Richtung ist klar, sei also f \neq 0. Dann ist f eine Einheit und daher ist die Multiplikation mit x eine bijektive lineare Abbildung, und deren Determinante ist \neq 0.
\Box



Lemma  

Sei K \subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n. Dann hat die Spur

S: L \longrightarrow K , \, f \longmapsto S(f) \, ,
folgende Eigenschaften:
  1. Die Spur ist additiv und K-linear, also S(f + g) = S(f) + S(g) und S(λf) = λS(f) für \lambda \in K.
  2. Für f \in K ist S(f) = nf.

Beweis  

Dies folgt aus den Definitionen.

\Box


Eine Körpererweiterung K \subseteq L heißt einfach, wenn sie von einem Element f erzeugt wird. Das bedeutet, dass es außer L keinen Körper zwischen K und L gibt, der f enthält. Das Element f nennt man dann auch ein primitives Element der Körpererweiterung. Ist L endlich und einfach, so ist

L = K[f] \cong K[X]/(P) \, ,
wobei P das Minimalpolynom von f ist.

Satz  

Sei K \subseteq L=K[f] eine einfache endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n. Dann hat das Minimalpolynom P von f die Gestalt

P = X^n- S(f)X^{n-1} + \ldots + (-1)^n N(f) \, .

Beweis  

Das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der durch f definierten K-linearen Abbildung

\varphi_f: L \longrightarrow L,\, y \longmapsto fy, \,
haben beide den Grad n, so dass sie übereinstimmen. Sei bezüglich einer Basis v_1, \ldots ,v_n von L diese lineare Abbildung durch die Matrix (λij)ij gegeben. Dann ist das charakteristische Polynom gleich
\chi_f = \det \begin{pmatrix} X- \lambda_{1,1} & \cdots & - \lambda_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ - \lambda_{n,1} & \cdots & X- \lambda_{n,n} \end{pmatrix} = X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X +a_0 \, .
Zum Koeffizienten an − 1 leisten nur diejenigen Permutationen einen Beitrag, bei denen (n − 1)-mal die Variable X vorkommt, und das ist nur bei der identischen Permutation (also der Diagonalen) der Fall. Multipliziert man die Diagonale distributiv aus, so ergibt sich X^n- \sum_{i=1}^n \lambda_{ii}X^{n-1}+ \ldots, so dass also an − 1 = − S(f) gilt. Setzt man in der obigen Gleichung X = 0, so ergibt sich, dass a0 die Determinante der negierten Matrix ist, woraus a0 = ( − 1)nN(f) folgt.
\Box



Definition (Separable Körpererweiterung)  

Sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt separabel, wenn für jedes Element x \in L das Minimalpolynom separabel ist, also in keinem Erweiterungskörper eine mehrfache Nullstelle besitzt.

In unserem Zusammenhang, wo wir uns für Körpererweiterungen von \mathbb Q interessieren, also in Charakteristik null sind, ist eine Körpererweiterung stets separabel (siehe Aufgabe 15.8), und wir haben den folgenden Satz zur Verfügung.


Satz (vom primitiven Element)

Sei K \subseteq L eine separable endliche Körpererweiterung. Dann wird L von einem Element erzeugt, d.h. es gibt f \in L mit

L =K(f) \cong K[X]/(P) \,
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom P \in K[X].

Beweis

Dies ist ein wichtiges Standardresultat aus der Theorie der Körpererweiterungen.
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PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Zahlentheorie_(Osnabr%C3%BCck_2008)/Vorlesung_15“
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