Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 17

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Inhaltsverzeichnis

Definition (Ganzheitsgleichung)  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Für ein Element x \in S heißt eine Gleichung der Form

x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \ldots + r_1x +r_0 = 0 \, ,
wobei die Koeffizienten r_{i} , \, i=0, \ldots, n-1 , zu R gehören, eine Ganzheitsgleichung für x.

Definition (Ganzes Element)  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Ein Element x \in S heißt ganz, wenn x eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus R erfüllt.

Wenn R = K ein Körper und S eine K-Algebra ist, so ist x \in S algebraisch über K genau dann, wenn es ganz über K ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe.


Definition (Ganzer Abschluss)  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente x \in S, die ganz über R sind, den ganzen Abschluss von R in S.


Definition (Ganz)  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Dann heißt S ganz über R, wenn jedes Element x \in S ganz über R ist.

S ist genau dann ganz über R, wenn der ganze Abschluss von R in S gleich S ist.



Lemma  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Für ein Element x \in S sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. x ist ganz über R.
  2. Es gibt eine R-Unteralgebra T von S mit x \in T und die ein endlicher R-Modul ist.
  3. Es gibt einen endlichen R-Untermodul M von S, der einen Nichtnullteiler aus S enthält, mit xM \subseteq M.

Beweis  

(1) \Rightarrow (2). Wir betrachten die von den Potenzen von x erzeugte R-Unteralgebra R[x] von S, die aus allen polynomialen Ausdrücken in x mit Koeffizienten aus R besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

x^n+ r_{n-1}x^{n-1} + r_{n-2}x^{n-2} + \ldots + r_1x +r_0 = 0 \,
ergibt sich
x^n= - r_{n-1}x^{n-1} - r_{n-2}x^{n-2} - \ldots - r_1x -r_0 \, .
Man kann also xn durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit xi kann man jede Potenz von x mit einem Exponenten \geq n durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad \leq n-1 ersetzen. Damit ist
R[x]= R + Rx + Rx^2 + \ldots + Rx^{n-2} + Rx^{n-1} \,
und die Potenzen x^0=1,x^1,x^2, \ldots ,x^{n-1} bilden ein endliches Erzeugendensystem von T = R[x].

(2) \Rightarrow (3). Sei x \in T \subseteq S, T eine R-Unteralgebra, die als R-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist xT \subseteq T, und T enthält den Nichtnullteiler 1.

(3) \Rightarrow (1). Sei M \subseteq S ein endlich erzeugter R-Untermodul mit xM \subseteq M. Seien y_1, \ldots, y_n erzeugende Elemente von M. Dann ist insbesondere xyi für jedes i eine R-Linearkombination der y_j , \, j=1 ,\ldots, n . Dies bedeutet

xy_i = \sum_{j=1}^n r_{ij} y_j \,
mit r_{ij}\in R oder als Matrix geschrieben
x \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_{1,1} & r_{1,2} & . & . & r_{1,n} \\ r_{2,1} & r_{2,2} & . & . & r_{2,n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ r_{n,1} & r_{n,2} & . & . & r_{n,n} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} \, .
Dies schreiben wir als
0 = \begin{pmatrix} x-r_{1,1} & -r_{1,2} & . & . & -r_{1,n} \\ -r_{2,1} & x-r_{2,2} & . & . & -r_{2,n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ -r_{n,1} & -r_{n,2} & . & . & x-r_{n,n} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ . \\ . \\ y_n \end{pmatrix} \, .
Nennen wir diese Matrix A (die Einträge sind aus S), und sei Aadj die adjungierte Matrix. Dann gilt AadjAy = 0 (y bezeichne den Vektor (y_1, \ldots ,y_n)) und nach der Cramerschen Regel ist AadjA = (detA)En, also gilt ((detA)En)y = 0. Es ist also (detA)yj für alle j und damit (detA)z für alle z. Da M nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss detA = 0 sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in x vom Grad n, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.
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Korollar  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von R in S eine R-Unteralgebra von S.

Beweis  

Die Ganzheitsgleichungen X-r , \, r \in R , zeigen, dass jedes Element aus R ganz über R ist. Seien x_1 \in S und x_2 \in S ganz über R. Nach der Charakterisierung der Ganzheit(Lemma 17.5) gibt es endliche R-Unteralgebren T_1,T_2 \subseteq S mit x_1 \in T_1 und x_2 \in T_2. Sei y_1, \ldots , y_n ein R-Erzeugendensystem von T1 und z_1, \ldots, z_m ein R-Erzeugendensystem von T2. Wir können annehmen, dass y1 = z1 = 1 ist. Betrachte den endlich erzeugten R-Modul

T=T_1 \cdot T_2 = \langle y_iz_j, \, i= 1, \ldots , n, \, j= 1, \ldots, m \rangle \, ,
der offensichtlich x1 + x2 und x1x2 (und 1) enthält. Dieser R-Modul T ist auch wieder eine R-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt
(\sum r_{ij} y_iz_j)(\sum s_{kl} y_kz_l)= \sum r_{ij}s_{kl} y_iy_k z_jz_l \, ,
und für die Produkte gilt y_iy_k \in T_1 und z_jz_l \in T_2 so dass diese Linearkombination zu T gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von S, der R enthält. Also liegt eine R-Unteralgebra vor.
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Definition (Ganz-abgeschlossen)  

Seien R und S kommutative Ringe und R \subseteq S eine Ringerweiterung. Man nennt R ganz-abgeschlossen in S, wenn der ganze Abschluss von R in S gleich R ist.


Definition (normal)  

Ein

Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem

Quotientenkörper ist.

Definition (Normalisierung)  

Sei R ein Integritätsbereich und Q(R) sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von R in Q(R) die Normalisierung von R.



Satz (Normalität faktorieller Bereiche)  

Sei R ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist R normal.

Beweis  

Sei K = Q(R) der Quotientenkörper von R und q \in K ein Element, das die Ganzheitsgleichung

q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \ldots + r_1q +r_0 = 0 \,
mit r_{i} \in R erfüllt. Wir schreiben q = a / b mit a,b \in R , wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also a und b \in R keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass b eine Einheit in R ist, da dann q = ab − 1 zu R gehört.

Wir multiplizieren obige Ganzheitsgleichung mit bn und erhalten in R

a^n+ (r_{n-1}b) a^{n-1} + (r_{n-2}b^2)a^{n-2} + \ldots + (r_1b^{n-1}) a + ( r_0 b^n) = 0 \, .
Wenn b keine Einheit ist, dann gibt es auch einen Primteiler p von b. Dieser teilt alle Summanden (rn − ibi)an − i für i \geq 1 und daher auch den ersten, also an. Das bedeutet aber, dass a selbst ein Vielfaches von p ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
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Korollar (Wurzeln aus Elementen)  

Sei R ein faktoriellerDefinition (oder normaler) Integritätsbereich und a \in R. Wenn es ein Element x \in Q(R) gibt mit xk = a, so ist bereits x \in R.

Beweis  

Die Voraussetzung bedeutet, dass x \in Q(R) ganz über R ist, da es die Ganzheitsgleichung

X^k-a = 0 \,
erfüllt. Also ist x \in R wegen der Normalität.
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Korollar (Irrationalität von Wurzeln)  

Sei n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl n. Sei k eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten αi ein Vielfaches von k sind. Dann ist die reelle Zahl

n^{\frac{1}{k} } \,
irrational.

Beweis  

Die Zahl n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} kann nach Voraussetzung keine k-te Wurzel in \Z besitzen, da in einer k-ten Potenz alle Exponenten zu Primzahlen Vielfache von k sind. Wegen der Faktorialität von \Z und der Fakt Normalität kann es auch kein x \in Q(\Z)=\mathbb Q geben mit xk = n. Daher ist die reelle Zahl n^{\frac{1}{k} } irrational.

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Lemma (Quotientenkörper und Ganzheit)  

Sei R ein IntegritätsbereichDefinition mit Quotientenkörper K = Q(R) und sei K \subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Der ganze Abschluss von R in L sei mit S bezeichnet. Dann ist L der Quotientenkörper von S.

Beweis  

Sei f \in L. Nach Voraussetzung ist L endlich über K. Daher erfüllt f eine Ganzheitsgleichung der Form

f^n +q_{n-1} f^{n-1} + \ldots + q_1 f + q_0 =0 \,
mit q_i \in K. Sei r \in R ein gemeinsames Vielfaches der Nenner aller qi, i=1, \ldots ,n-1. Multiplikation mit rn ergibt dann
(rf)^n +q_{n-1}r (rf)^{n-1} + \ldots + q_1r^{n-1}(rf) + q_0r^n =0 \, .
Dies ist eine Ganzheitsgleichung für rf, da die Koeffizienten qn − iri nach Wahl von r alle zu R gehören. Damit ist rf \in S, da S der ganze Abschluss ist. Somit zeigt f= \frac{rf}{r}, dass f als ein Bruch mit einem Zähler aus S und einem Nenner aus R \subseteq S darstellbar ist, also im Quotientenkörper Q(S) liegt.
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