Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 18

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von \Z in einem endlichen Erweiterungskörper der rationalen Zahlen \mathbb Q interessieren.


Definition (Zahlbereiche)  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von \Z in L den Ring der ganzen Zahlen in L. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper L von \mathbb Q nennt man übrigens einen Zahlkörper.



Satz

Sei R ein Zahlbereich. Dann ist R ein normaler Integritätsbereich.

Beweis

Nach  Satz 17.13 ist L der Quotientenkörper des Ganzheitsrings R. Ist q \in Q(R)=L ganz über R, so ist q nach  Aufgabe 17.3 auch ganz über \Z und gehört selbst zu R.

\Box



Lemma  

Sei R ein Zahlbereich. Dann enthält jedes von null verschiedene Ideal \mathfrak a in R eine Zahl m \in \mathbb{Z} mit m \neq 0.

Beweis  

Sei 0 \neq f \in {\mathfrak a}. Dieses Element ist nach der Definition eines ZahlbereichesDefinition ganzDefinition über \Z und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \ldots + k_1f +k_0 = 0 \,
mit ganzen Zahlen ki. Bei k0 = 0 kann man die Gleichung mit f kürzen, da f \neq 0 ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht 0 ist. Sei also in obiger Gleichung k_0 \neq 0. Dann ist
f( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \ldots + k_1) = -k_0 \,
und somit ist k_0 \in (f) \cap \Z.
\Box



Satz  

Sei R ein Zahlbereich und sei f \in Q(R)=L. Dann ist f genau dann ganz über \Z, wenn die Koeffizienten des Minimalpolynoms von f über \mathbb Q alle ganzzahlig sind.

Beweis  

Das Minimalpolynom P von f über \mathbb Q ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus \mathbb Q. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichung für f über \Z vor.

Sei umgekehrt f ganz über \Z, und sei S \in \Z[X] ein normiertes ganzzahliges Polynom mit S(f) = 0, das wir als irreduzibel in \Z[X] annehmen dürfen. Wir betrachten S \in {\mathbb Q}[X]. Dort gilt

S = PT \, .
Da nach dem Lemma von Gauß  (siehe Aufgabe 18.2) ein irreduzibles Polynom von \Z[X] auch in {\mathbb Q}[X] irreduzibel ist, folgt S = P und daher sind alle Koeffizienten von P ganzzahlig.
\Box


Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu \Z gehören.



Lemma  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche Körpererweiterung vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Sei \mathfrak a ein von null verschiedenes Ideal in R. Dann enthält \mathfrak a Elemente b_1, \ldots, b_n, die eine \mathbb Q-Basis von L sind.

Beweis  

Es sei v_1, \ldots , v_n eine \mathbb Q-Basis von L. Das Ideal \mathfrak a enthält nach Lemma 18.3 ein Element 0 \neq m \in \mathfrak a \cap \Z. Nach (dem Beweis von) Satz 17.13 kann man schreiben v_i = \frac{r_i}{n_i} mit r_i \in R und n_i \in \Z - \{0\}. Dann sind die m (n_i v_i) \in \mathfrak a und bilden ebenfalls eine \mathbb Q-Basis von L.

\Box



Satz  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Sei \mathfrak a ein von null verschiedenes Ideal in R. Seien b_1, \ldots ,b_n \in \mathfrak a Elemente, die eine \mathbb Q-Basis von L bilden und für die der Betrag der Diskriminante

\mid\! \triangle(b_1, \ldots , b_n)\!\mid \,
unter all diesen Basen aus \mathfrak a minimal sei. Dann ist
\mathfrak a = \Z b_1 + \ldots +\Z b_n \, .

Beweis  

Sei f \in \mathfrak a ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich f als eine \Z-Linearkombination f=k_1b_1+ \ldots +k_nb_n mit k_i \in \Z schreiben lässt, wenn die b_1, \ldots ,b_n \in \mathfrak a eine \mathbb Q-Basis von L mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

f=q_1b_1+ \ldots +q_nb_n \,
mit rationalen Zahlen q_i \in \mathbb Q. Sei angenommen, dass ein qi nicht ganzzahlig ist, wobei wir i = 1 annehmen dürfen. Wir schreiben dann q1 = k + δ mit k \in \Z und einer rationalen Zahl δ zwischen 0 und 1. Dann ist auch
c_1=f-kb_1= \delta b_1 + \sum_{i=2}^n q_ib_i,\, b_2, \ldots, b_n \,
eine \mathbb Q-Basis von L, die in \mathfrak a liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
T= \begin{pmatrix} \delta & q_2 & q_3 & \cdots & q_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \, .
Nach Lemma 16.2 gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
\triangle (c_1,b_2, \ldots ,b_n) = (\det(T))^2 \triangle (b_1,b_2, \ldots ,b_n) \, .
Wegen = (det(T))2 = δ2 < 1 und da die Diskriminanten nach Lemma 16.3 nicht null sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminanten.
\Box



Korollar (Struktur von Idealen)  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Sei \mathfrak a ein von null verschiedenes Ideal in R. Dann ist \mathfrak a eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b_1, \ldots ,b_n \in \mathfrak a mit

\mathfrak a = \Z b_1 + \ldots +\Z b_n \, .

Beweis  

Nach Lemma 18.5 gibt es überhaupt Elemente b_1, \ldots ,b_n \in \mathfrak a, die eine \mathbb Q-Basis von L bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 18.6, dass sie ein \Z-Erzeugendensystem von \mathfrak a bilden.

\Box



Korollar (Additive Struktur der Zahlbereiche)  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Dann ist R eine freie Gruppe vom Rang n, d.h. es gibt Elemente b_1, \ldots ,b_n \in R mit

R = \Z b_1 + \ldots +\Z b_n \, .

Beweis  

Dies folgt direkt aus Korollar 18.7, angewendet auf das Ideal \mathfrak a = R.

\Box


Ein solches System von Erzeugern b_1, \ldots , b_n nennt man auch eine Ganzheitsbasis.



Korollar  

Sei {\mathbb Q}\subseteq L eine endliche KörpererweiterungDefinition vom Grad n und R der zugehörige Zahlbereich. Es sei m \in \Z. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

R/(m) \cong (\Z/(m))^n \, .
Für eine Primzahl m = p ist R / (m) eine Algebra der Dimension n über dem Körper \Z/(p). Zu jeder Primzahl p gibt es Primideale \mathfrak p in R mit \mathfrak p \cap \Z=(p).

Beweis  

Nach Korollar 18.8 ist R \cong \Z^n (als abelsche Gruppen). Das von m in R erzeugte Ideal besteht (unter dieser Identifizierung) aus allen Elementen der Form

m(a_1,\ldots, a_n) = (ma_1,\ldots, ma_n) \, ,
d.h. in jeder Komponente steht ein Vielfaches von m. Die Restklassengruppe R / (m) ist demnach gleich (\Z/(m))^n und besitzt mn Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist mR \cap \Z = m \Z (siehe Aufgabe 18.4) und aufgrund des Isomorphiesatzes hat man einen injektiven Ringhomomorphismus
\Z/(m) \longrightarrow R/(m) \, ,
so dass R / (m) eine von null verschiedene \Z/(m)-Algebra ist.

Für eine Primzahl p ist R / (p) ein Vektorraum über \Z/(p) der Dimension n. Deshalb gibt es darin (mindestens) ein maximales Ideal, und dieses entspricht einem maximalen Ideal \mathfrak m in R mit p \in \mathfrak m. Daher ist (p) = (p)R \cap \Z \subseteq \mathfrak m \cap \Z, und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich (p).

\Box


Emmy Noether (1882-1935)

Definition (Noethersche Ringe)  

Ein kommutativer Ring R heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Korollar (Zahlbereiche sind noethersch)  

Beweis  

Nach Satz 18.6 ist jedes von null verschiedene Ideal als additive Gruppe isomorph zu \Z^n, also ist insbesondere jedes Ideal als abelsche Gruppe endlich erzeugt. Insbesondere sind die Ideale dann als Ideale (also als R-Moduln) endlich erzeugt.

\Box



Satz  

Sei R ein Zahlbereich. Dann ist jeder echte Restklassenring von R endlich.

Beweis  

Nach 18.3 gibt es ein m \in \Z \cap {\mathfrak a}, m \neq 0. Damit ist mR \subseteq \mathfrak a und damit hat man eine surjektive Abbildung

R/(m) \longrightarrow R/{\mathfrak a} \, .
Der Ring links ist nach 18.9 endlich (mit mn Elementen), also besitzt der Ring rechts auch nur endlich viele Elemente.
\Box



Satz  

Sei R ein ZahlbereichDefinition. Dann ist jedes von null verschiedene Primideal von R bereits ein maximales Ideal.

Beweis  

Sei \mathfrak p ein Primideal \neq 0 in R. Dann ist der Restklassenring R/\mathfrak p nach Lemma 16.13 ein IntegritätsbereichDefinition und nach Satz 18.12 endlich. Ein endlicher Integritätsbereich ist aber bereits ein Körper, so dass nach Satz 18.12 ein maximales Ideal vorliegt.

\Box


Richard Dedekind (1831-1916)

Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen.


Definition (Dedekindbereiche)  

Einen Integritätsbereich R nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von null verschiedene Primideal darin maximal ist.



Korollar (Zahlbereiche sind Dedekindbereiche)  

Beweis  

Dies folgt aus Satz 18.2, aus Korollar 18.11 und aus Satz 18.13.

\Box



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Zahlentheorie_(Osnabr%C3%BCck_2008)/Vorlesung_18“
Persönliche Werkzeuge