Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 2

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Inhaltsverzeichnis

Definition (Ideal)  

Eine nichtleere Teilmenge \mathfrak {a} eines kommutativen Ringes R heißt Ideal, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Für alle a,b \in \mathfrak {a} ist auch a+b \in \mathfrak {a}.
  2. Für alle a \in \mathfrak {a} und r \in R ist auch ra \in \mathfrak {a}.

Bemerkung (Ideal)  

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von R, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Ein Ideal ist das Gleiche wie ein R- Untermodul von R.



Definition (erzeugtes Ideal)  

Zu einer Familie von Elementen a_j \in R, j \in J, in einem kommutativen Ring R bezeichnet (a_j: j \in J) das von den aj erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

\sum_{j \in J_0} r_j a_j \, ,
wobei J_0 \subseteq J eine endliche Teilmenge und r_j \in R ist.

Definition (Hauptideal)  

Ein Ideal \mathfrak a in einem kommutativen Ring R der Form

{\mathfrak a} = (a) = Ra = \{ra:\, r \in R\} \, .
heißt Hauptideal.

Mit dem Idealbegriff lassen sich Teilbarkeitsbeziehungen ausdrücken.


Lemma

Sei R ein kommutativer Ring und a,b \in R. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Element a ist ein Teiler von b (also a | b), genau dann, wenn (b) \subseteq (a).
  2. a ist eine Einheit genau dann, wenn (a) = R = (1).
  3. Ist R ein Integritätsbereich, so gilt (a) = (b) genau dann, wenn a und b assoziiert sind.

Beweis

Siehe Aufgabe 2.4.

\Box



Definition (Hauptidealbereich)  

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.




Größter gemeinsamer Teiler

Definition (Gemeinsamer Teiler)  

Sei R ein kommutativer Ring und a_1, \ldots ,a_k \in R. Dann heißt ein Element t \in R gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k, wenn t jedes ai teilt (i=1, \ldots , k). Ein Element g \in R heißt größter gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k, wenn g ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler t dieses g teilt.

Die Elemente a_1, \ldots ,a_k heißen teilerfremd, wenn 1 ihr größter gemeinsamer Teiler ist.

Bemerkung (Gemeinsamer Teiler)  

Eine Einheit ist immer ein gemeinsamer Teiler für jede Auswahl von Elementen. Ein größter gemeinsamer Teiler muss nicht existieren im Allgemeinen. Ist t ein gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k und u eine Einheit, so ist auch ut ein gemeinsamer Teiler der a_1, \ldots ,a_k. Die Elemente a_1, \ldots ,a_k sind teilerfremd genau dann, wenn jeder gemeinsame Teiler davon eine Einheit ist (es gibt noch andere Definitionen von teilerfremd, die nicht immer inhaltlich mit dieser übereinstimmen).



Lemma  

Sei R ein kommutativer Ring, a_1, \ldots, a_k \in R und \mathfrak a =(a_1, \ldots, a_k ) das davon erzeugte Ideal. Ein Element t \in R ist ein gemeinsamer Teiler von a_1, \ldots, a_k \in R genau dann, wenn \mathfrak a \subseteq (t) ist, und t ist ein größter gemeinsamer Teiler genau dann, wenn für jedes s \in R mit \mathfrak a \subseteq (s) folgt, dass (t) \subseteq (s) ist. Ein größter gemeinsamer Teiler erzeugt also ein minimales Hauptoberideal von \mathfrak a.

Beweis  

Aus {\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k ) \subseteq (t) folgt sofort (a_i) \subseteq (t) für i=1 , \ldots , k, was gerade bedeutet, dass t diese Elemente teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt t ein gemeinsamer Teiler. Dann ist a_i \in (t) und da {\mathfrak a} =(a_1, \ldots, a_k ) das kleinste Ideal ist, das alle ai enthält, muss {\mathfrak a} \subseteq (t) gelten. Der zweite Teil folgt sofort aus dem ersten.

\Box


Bevor wir mit der Teilbarkeitstheorie für Hauptidealbereiche fortfahren, wollen wir zunächst zeigen, dass die ganzen Zahlen einen Hauptidealbereich bilden. Dies geschieht über den Begriff des Euklidischen Bereiches, der an die Division mit Rest anknüpft. Im Ring der ganzen Zahlen gilt die Division mit Rest. Ihre Bedeutung liegt grob gesprochen darin, dass sie ein Maß dafür liefert, wie weit eine Zahl davon entfernt ist, eine andere zu teilen.




Division mit Rest

Für ganze Zahlen a,b, b \neq 0,, gibt es (eindeutig bestimmte) ganze Zahlen q,r mit

a = qb+r \mbox{ und } 0 \leq r < \mid\! b\!\mid \, .
Dabei bezeichnet {{|}} \, \,{{|}} den Betrag einer ganzen Zahl. Das Symbol q soll dabei an Quotient erinnern und r an Rest. Teilt man die Gleichung durch b, so erhält man in \mathbb Q die Beziehung
\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b} \mbox{ mit } q \in {\mathbb Z} \mbox{ und }0 \leq \frac{r}{b} < 1 \, .

Definition (Euklidischer Bereich)  

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich R, für den eine Abbildung \delta: R-\{0\} \to {\mathbb N} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente a,b mit b \neq 0 gibt es q , r \in R mit

a = qb+r \mbox{ und } r=0 \mbox{ oder } \delta (r)< \delta (b) \, .

Die in der Definition auftauchende Abbildung δ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen \mathbb Z bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.


Beispiel (Polynomring über Körper)  

Für einen Körper K ist der Polynomring K[X] in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion δ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring K[X] und \mathbb Z beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft

\delta(fg)=\delta(f) + \delta(g) \, .

Beispiel (Der Ring der Gaußschen Zahlen)  

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine Gaußsche Zahl z ist durch z = a + bi gegeben, wobei a und b ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit \mathbb Z[\mathrm i] bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm N gegeben, die durch N(a + bi): = a2 + b2 definiert ist. Man kann auch schreiben N(z)=z \cdot \bar{z}, wobei \bar{z} die komplexe Multiplikation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also N(zw) = N(z)N(w).

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von \mathbb Z[\mathrm i] bestimmen: ist wz = 1, so ist auchN(zw) = N(z)N(w) = 1, also N (z) = +\!/\!- 1. Damit sind genau die Elemente {1, − 1,i, − i} diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.



Lemma  

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich.

Beweis  

Seien w,z \in \Z[i], z \neq 0. Wir betrachten den Quotienten

\frac{w}{z} = \frac{w \bar{z} }{z \bar{z} } =q_1 + q_2 i \, .
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also q_1, q_2 \in \mathbb Q. Es gibt ganze Zahlen a1,a2 mit {{|}}q_1-a_1{{|}}, {{|}}q_2-a_2{{|}} \leq 1/2. Damit ist
q_1 + q_2 i = a_1 +a_2 i + (q_1-a_1) + (q_2-a_2)i \,
mit a_1 +a_2 i \in \Z[i]. Ferner ist
N((q_1-a_1) + (q_2-a_2)i) \leq (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 < 1 \, .
Multiplikation mit z ergibt
w = z(a_1 +a_2 i) + z((q_1-a_1) + (q_2-a_2)i) \,
und aus der Multiplikativität der Norm folgt
N(z((q_1-a_1) + (q_2-a_2)i))=N(z)N((q_1-a_1) + (q_2-a_2)i) < N(z) \, .
\Box


Für eine unvollständige Liste von Primfaktorzerlegungen im Ring der Gaußschen Zahlen siehe hier oder hier.

Folgendes Lemma hilft bei der Bestimmung der Primelemente der Gaußschen Zahlen und in ähnlichen Ringen.


Lemma  

Sei R ein euklidischer Bereich mit einer multiplikativen euklidischen Funktion N: R-\{0\} \longrightarrow \N_+ (es werden also nur positive Werte angenommen). Ist dann für f \in R die Zahl N(f) prim, so ist f irreduzibel in R.

Beweis  

Sei f = gh eine Faktorzerlegung. Dann ist N(f) = N(g)N(h) und da nach Voraussetzung N(f) eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir N(h), eine Einheit ist, also N(h) = 1. Wir wenden auf 1 und h die Division mit Rest an und erhalten

1= qh+r \, ,
wobei r = 0 ist oder N(r) < N(h) = 1. Letzteres ist aber ausgeschlossen, so dass r = 0 sein muss und damit ist h eine Einheit. Also ist f irreduzibel.
\Box


Wir werden später sehen, dass in euklidischen Bereichen irreduzible Elemente bereits prim sind. Das vorstehende Lemma ist also ein Kriterium für Primelemente. Die Umkehrung gilt übrigens nicht. Z. B. ist 3 ein Primelement in \Z[i], aber N(3) = 9 ist keine Primzahl.

Nach den Gaußschen Zahlen sind die sogenannten Eisenstein-Zahlen ein wichtiges Beispiel für quadratische Zahlbereiche.

Gotthold Eisenstein (1823 Berlin - 1852 Berlin)

Beispiel (Eisenstein-Zahlen)  

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind komplexe Zahlen der Form

z = a + b (\frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3) \,
mit ganzen Zahlen a und b. Insbesondere ist
\omega = -\frac{1}{2} +\frac{\mathrm i}2\sqrt3 = e^{2\pi\mathrm i/3} \,
eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine (primitive) dritte Einheitswurzel (also ω3 = 1), so dass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Wegen ω3 − 1 = (ω − 1)(ω2 + ω + 1) und \omega \neq 1 gilt die Gleichung
\omega^2 + \omega + 1 = 0 \, .

Die Eisenstein-Zahlen enthalten den Ring \Z[\sqrt{-3}]=\Z \oplus \Z\sqrt{-3}. Im obigen Bild besteht dieser Ring aus jeder zweiten horizontalen Zeile des Gitters und ist damit ein rechtwinkliges Gitter. Es gilt der folgende Satz.



Satz  

Für den Ring \Z[\sqrt{-3}] ist die Norm (das Quadrat des komplexen Betrages) keine euklidische Funktion, aber für den Ring der Eisenstein-Zahlen \Z[\omega] mit \omega= \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} ist die Norm eine euklidische Funktion.

Beweis  

Wie dem Beweis zur Euklidizität der Gaußschen Zahlen zu entnehmen ist, ist für einen Unterring der komplexen Zahlen der Form \Gamma = \Z \oplus \Z x (mit x \not\in \R) die Norm eine euklidische Funktion genau dann, wenn sich zu jedem Element z \in \mathbb Q(\Gamma)=\mathbb Q \oplus \mathbb Q x ein Element u \in \Gamma findet, das zu z einen Abstand kleiner als 1 besitzt. Sei zunächst \Gamma = \Z \oplus \Z \sqrt{-3}. Das Element \omega = \frac{-1+\sqrt{-3} }{2} \in \mathbb Q(\Gamma) hat den minimalen Abstand zu den vier Gitterpunkten (0,0), (-1,0), (0,\sqrt{3}), (-1, \sqrt{3}), und dieser ist stets

{{|}} \frac{-1+\sqrt{-3} }{2} {{|}} = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} } = 1 \, .
Für den Ring der Eisenstein-Zahlen \Z[\omega] sind die Gittermaschen gleichmäßige Dreiecke mit Seitenlänge eins, und jede komplexe Zahl hat zu mindestens einem Gitterpunkt einen Abstand < 1.
\Box


Es lässt sich zeigen, dass der Ring \Z[\sqrt{-3}] auch keine andere euklidische Funktion besitzt (er ist auch kein Hauptidealbereich, noch nicht mal, wie wir später sehen und erklären werden, normal).

Eine wichtige Konsequenz aus der Existenz einer euklidischen Funktion ist, dass ein Hauptidealbereich vorliegt.


Satz (Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche)  

Beweis  

Sei I ein von null verschiedenes Ideal. Betrachte die nicht-leere Menge

\{ \delta(a): a \in I, a \neq 0 \} \, .
Diese Menge hat ein Minimum m, das von einem Element b \in I, \, b \neq 0 herrührt, sagen wir m = δ(b). Wir behaupten, dass I = (b) ist. Sei hierzu a \in I gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt a = qb + r mit r = 0 oder δ(r) < δ(b). Wegen r \in I und der Minimalität von δ(b) kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist r = 0 und a ist ein Vielfaches von b.
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