Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 22

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Inhaltsverzeichnis

In dieser und der nächsten Vorlesung beweisen wir zwei Versionen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Zahlbereichen, die beide Abschwächungen zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in \Z sind. Die eine besagt, dass für einen Zahlbereich die eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen „lokal“ gilt (Satz 22.17 und Bemerkung 22.19). Die zweite Version besagt, dass man auf der Ebene der Ideale eine eindeutige Faktorzerlegung in Primideale erhält (Satz von Dedekind 23.13). Für die erste Version benötigen wir die Begriffe Nenneraufnahme, Lokalisierung und diskreter Bewertungsring.




Nenneraufnahme

Definition (Multiplikatives System)  

Sei R ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge S \subseteq R heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

  1. 1 \in S
  2. Wenn f,g \in S, dann ist auch fg \in S

gelten.


Beispiel (Primideal)  

Sei R ein kommutativer Ring und \mathfrak p ein Primideal. Dann ist das Komplement R- {\mathfrak p} ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.


Beispiel (Potenzen eines Elementes)  

Sei R ein kommutativer Ring und f \in R ein Element. Dann bilden die Potenzen fn, n \in \N, ein multiplikatives System.


Beispiel  

Sei R ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von null verschiedenen Elemente in R ein multiplikatives System, das mit R * = R − {0} bezeichnet wird.


Definition (Nenneraufnahmme)  

Sei R ein Integritätsbereich und sei S \subseteq R ein multiplikatives System, 0 \not \in S. Dann nennt man den Unterring

R_S := \left \{ \frac{f}{g}: \, f \in R,\, g \in S \right \} \subseteq Q(R) \,
die Nenneraufnahme zu S.

Für die Nenneraufnahme an einem Element f schreibt man einfach Rf statt R_{\{f^n:\, n \in {\mathbb N} \} }. Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn R kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe 22.1.


Definition (Lokalisierung)  

Sei R ein Integritätsbereich und sei {\mathfrak p} ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an S=R -{\mathfrak p} die Lokalisierung von R an {\mathfrak p}. Man schreibt dafür R_{\mathfrak p}. Es ist also

R_{\mathfrak p} := \{ \frac{f}{g} {{|}} \, f \in R,\, g \not\in {\mathfrak p} \} \subseteq Q(R) \, .

Definition (Lokaler Ring)  

Ein kommutativer Ring R heißt lokal, wenn R genau ein maximales Ideal besitzt.

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn macht.


Satz  

Sei R ein Integritätsbereich und sei {\mathfrak p} ein Primideal in R. Dann ist die Lokalisierung R_{\mathfrak p} ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} := \{ \frac{f}{g} {{|}} \, g \not\in {\mathfrak p} \} \, .

Beweis  

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung R_{\mathfrak p} = \{ \frac{f}{g} {{|}} \, f \in R,\, g \not\in {\mathfrak p} \}. Wir zeigen, dass das Komplement nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Sei also q= \frac{f}{g} \in R_{\mathfrak p}, aber nicht in {\mathfrak p}R_{\mathfrak p}. Dann sind f,g \not \in {\mathfrak p} und somit gehört der inverse Bruch \frac{g}{f} ebenfalls zur Lokalisierung.

\Box



Satz (Durchschnitt von Lokalisierungen)  

Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper Q(R).

Dann gilt

R= \bigcap_{{\mathfrak m} \mbox{ maximal }} R_{\mathfrak m} \, ,
wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in Q(R) genommen wird.

Beweis  

Die Inklusion \subseteq ist klar. Sei also q\in Q(R) und sei angenommen, q gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal {\mathfrak m} ist also q \in R_{\mathfrak m} \subset Q(R), d.h. es gibt f_{\mathfrak m} \not\in {\mathfrak m} und a_{\mathfrak m} \in R mit q=a_{\mathfrak m}/f_{\mathfrak m}. Wir betrachten das Ideal

(f_{\mathfrak m}:\, {\mathfrak m} \text{ maximal}) \, .
Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale {\mathfrak m}_i, i = 1, \ldots , n, mit r_1f_1+ \ldots +r_nf_n=1, wobei f_i= f_{ {\mathfrak m}_i} gesetzt wurde. Damit ist
q= \frac{a_1}{f_1} =\ldots = \frac{a_n}{f_n} \, .
Wir schreiben
q=q(r_1f_1+ \ldots+ r_nf_n)= qr_1f_1+ \ldots+ qr_nf_n = a_1r_1+ \ldots+ a_nr_n \, .
Also gehört q zu R.
\Box



Satz

Sei R ein normaler Integritätsbereich und sei S \subseteq R ein multiplikatives System.

Dann ist auch die Nenneraufnahme RS normal.

Beweis





Diskrete Bewertungsringe

Definition (Diskreter Bewertungsring)  

Ein diskreter Bewertungsring R ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in R gibt.



Lemma  

Beweis  

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 19.1 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.

\Box



Definition (Ordnung)  

Zu einem Element f \in R , \, f \neq 0 , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement p heißt die Zahl n \in \N mit der Eigenschaft f = upn, wobei u eine Einheit bezeichne, die Ordnung von f. Sie wird mit ord(f) bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.


Lemma

Sei R ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal {\mathfrak m}=(p).

Dann hat die Ordnung

R - \{0\} \longrightarrow \mathbb N,\, f \longmapsto \operatorname{ord} (f) \, ,
folgende Eigenschaften.
  1. \operatorname{ord} (f g ) = \operatorname{ord} (f) + \operatorname{ord}(g).
  2. \operatorname{ord} (f +g ) \geq \min \{ \operatorname{ord} (f) , \operatorname{ord} (g)\}.
  3. f \in \mathfrak m genau dann, wenn \operatorname{ord}(f ) \geq 1.
  4. f \in R^\times genau dann, wenn \operatorname{ord}(f ) = 0.

Beweis


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.


Lemma  

Sei R ein kommutativer RingDefinition und sei f \in R nicht nilpotent.

Dann gibt es ein Primideal \mathfrak p in R mit f \not\in {\mathfrak p}.

Beweis  

Wir betrachten die Menge der Ideale

M=\{ {\mathfrak a} \text{ Ideal } : \, f^r \not\in {\mathfrak a} \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, \text{ alle } r \} \, .
Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bzgl. der Inklusion): ist nämlich {\mathfrak a}_i eine total geordnete Teilmenge, so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von f enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in M.

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element \mathfrak p ein Primideal ist. Sei dazu g,h \in R und g,h \in {\mathfrak p}, und sei g,h \not\in {\mathfrak p} angenommen. Dann hat man echte Inklusionen

{\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}+(g) ,{\mathfrak p}+(h) \, .
Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu M gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten r,s \in {\mathbb N} gibt mit
f^r \in {\mathfrak p}+(g) \text{ und } f^s \in {\mathfrak p}+(h) \, .
Dann ergibt sich der Widerspruch
f^rf^s \in \mathfrak p + (gh) \subseteq \mathfrak p \, .
\Box



Lemma  

Sei R ein noetherscherDefinition lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal \mathfrak m das einzige Primideal von R ist.

Dann gibt es einen Exponenten n \in \mathbb N mit

{\mathfrak m}^n=0 \, .

Beweis  

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in R eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu f \in R keine Einheit. Dann ist f \in {\mathfrak m}. Angenommen, f ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Lemma 22.15 ein Primideal \mathfrak p mit f \not\in {\mathfrak p}. Damit ergibt sich der Widerspruch {\mathfrak p} \neq {\mathfrak m}.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem f_1, \ldots, f_k von \mathfrak m eine natürliche Zahl m mit f_i^m=0 für alle i=1, \ldots , k . Sei n = km. Dann ist ein beliebiges Element aus {\mathfrak m}^n von der Gestalt

(\sum_{i=1}^k a_{i1} f_i ) (\sum_{i=1}^k a_{i2} f_i ) \cdots (\sum_{i=1}^k a_{in} f_i ) \, .
Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k} und \sum_{i=1}^k r_i = n , so dass ein fi mit einem Exponenten \geq n/k =m vorkommt. Daher ist das Produkt 0.
\Box



Satz  

Sei R ein noetherscherDefinition lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale 0 \subset {\mathfrak m} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. R ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. R ist ein Hauptidealbereich.
  3. R ist faktoriell.
  4. R ist normal.
  5. \mathfrak m ist ein Hauptideal.

Beweis  

(1) \Rightarrow (2) folgt direkt aus der Definition 22.11.

(2) \Rightarrow (3) folgt aus Satz 3.7.

(3) \Rightarrow (4) folgt aus Satz 17.10.

(4) \Rightarrow (5). Sei f \in {\mathfrak m}, f \neq 0. Dann ist R / (f) ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich \tilde{\mathfrak m} = {\mathfrak m}R/(f)). Daher gibt es nach Lemma 22.15 ein n \in \mathbb N mit \tilde{\mathfrak m}^n =0. Zurückübersetzt nach R heißt das, dass {\mathfrak m}^n \subseteq (f) gilt. Wir wählen n minimal mit den Eigenschaften

{\mathfrak m}^n \subseteq (f) \text{ und } {\mathfrak m}^{n-1} \not\subseteq (f) \, .
Wähle g \in {\mathfrak m}^{n-1} mit g \not\in (f) und betrachte
h:= \frac{f}{g} \in Q(R) (\text{es ist }g \neq 0) \, .
Das Inverse, also h^{-1}= \frac{g}{f}, gehört nicht zu R, sonst wäre g \in (f). Da R nach Voraussetzung normal ist, ist h − 1 auch nicht ganz über R. Nach dem Modulkriterium Lemma 17.5 für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal {\mathfrak m} \subset R die Beziehung
h^{-1} {\mathfrak m} \not\subseteq {\mathfrak m} \,
ist. Nach Wahl von g ist aber auch
h^{-1} {\mathfrak m} = \frac{g}{f} {\mathfrak m} \subseteq \frac{ {\mathfrak m}^n}{f} \subseteq R \, .

Daher ist h^{-1} {\mathfrak m} ein Ideal in R, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist h^{-1} {\mathfrak m} = R. Das heißt einerseits h \in {\mathfrak m} und andererseits gilt für ein beliebiges x \in {\mathfrak m} die Beziehung h^{-1}x \in R, also x = h(h − 1x), also x \in (h) und somit (h)= {\mathfrak m}.

(5) \Rightarrow (1). Sei {\mathfrak m} =(\pi). Dann ist π ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei f\in R, f \neq 0 keine Einheit. Dann ist f \in {\mathfrak m} und daher f = πg1. Dann ist g1 eine Einheit oder g_1 \in {\mathfrak m}. Im zweiten Fall ist wieder g1 = πg2 und f = π2g2.

Wir behaupten, dass man f = πku mit einer Einheit u schreiben kann. Andernfalls könnte man f = πngn mit beliebig großem n schreiben. Nach Lemma 22.15 gibt es ein m \in \N mit (\pi^m)={\mathfrak m}^m \subseteq (f). Bei n \geq m+1 ergibt sich πm = af = aπm + 1b und der Widerspruch 1 = abπ.

Es lässt sich also jede Nichteinheit \neq 0 als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist R faktoriell. Für ein beliebiges Ideal {\mathfrak a}=(f_1, \ldots, f_s) ist f_i= \pi^{n_i} u_i mit Einheiten ui. Dann sieht man leicht, dass {\mathfrak a} =( \pi^n) ist mit n = mini{ni}.

\Box



Korollar  

Sei R ein Dedekindbereich und sei {\mathfrak m} ein maximales Ideal in R.

Dann ist die Lokalisierung

R_{\mathfrak m} \,
ein diskreter Bewertungsring.

Beweis  

Die Lokalisierung R_{\mathfrak m} ist lokal nach Satz 22.8, so dass es lediglich die zwei Primideale 0 und {\mathfrak m}R_{\mathfrak m} gibt. Ferner ist R noethersch. Da R normal ist, ist nach Satz 22.10 auch die Lokalisierung R_{\mathfrak m} normal. Wegen Satz 22.17 ist R_{\mathfrak m} ein diskreter Bewertungsring.

\Box


Bemerkung  

 Korollar 22.18 besagt in Verbindung mit  Satz 22.17, dass wenn man bei einem Dedekindbereich und spezieller einem Zahlbereich R zur Lokalisierung R_{\mathfrak m} an einem maximalen Ideal {\mathfrak m} übergeht, dass dort die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.



Korollar  

Sei R ein Dedekindbereich.

Dann ist R der Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen.

Beweis  

Nach Satz 22.9 ist

R = \bigcap_{\mathfrak m} R_{\mathfrak m} \, ,
wobei \mathfrak m durch alle maximalen Ideale von R läuft. Nach Satz 22.17 sind die beteiligten Lokalisierungen R_{\mathfrak m} allesamt diskrete Bewertungsringe.
\Box



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Zahlentheorie_(Osnabr%C3%BCck_2008)/Vorlesung_22“
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