Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 24

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Inhaltsverzeichnis

Die Menge der effektiven Divisoren bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten n_{\mathfrak p} alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus R, sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper Q(R), definiert ist.


Definition (Divisor)  

Sei R ein Zahlbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, ,
die sich über alle Primideale {\mathfrak p} \neq 0 aus R erstreckt und wobei n_{\mathfrak p} ganze Zahlen sind mit n_{\mathfrak p} = 0 für fast alle {\mathfrak p}.

Für einen diskreten Bewertungsring lässt sich die Ordnung \operatorname{ord}: R \setminus \{0\} \longrightarrow \N, q \longmapsto \operatorname{ord}(q), zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen,

\operatorname{ord}: Q(R) \setminus \{0\} \longrightarrow \Z , \, q \longmapsto \operatorname{ord}(q) \, ,
siehe Aufgabe 24.1.

Definition (Hauptdivisor)  

Sei R ein Zahlbereich und q \in Q(R), q \neq 0. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal {\mathfrak p} \neq 0 in R die Ordnung \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (q) zuordnet, der durch q definierte Hauptdivisor. Er wird mit \operatorname{div} (q) bezeichnet und als formale Summe

\operatorname{div} (q) = \sum_{\mathfrak p} \mathrm{ord}_{\mathfrak p} (q) \cdot {\mathfrak p} \,
geschrieben.

Die Menge der Divisoren bildet eine additive freie Gruppe, die wir mit \operatorname{Div}(R) bezeichnen. Sie enthält die Gruppe der Hauptdivisoren als Untergruppe (siehe Aufgabe 24.2), die wir mit H bezeichnen. Da wir im letzten Abschnitt eine Bijektion zwischen effektiven Divisoren und von null verschiedenen Idealen (und von effektiven Hauptdivisoren mit von null verschiedenen Hauptidealen) gestiftet haben, liegt die Frage nahe, welche (Ideal-ähnlichen) Objekte den Divisoren entsprechen. Wir wollen also wissen, durch welche Objekte wir das Fragezeichen im folgenden Diagramm ersetzen müssen.

\begin{matrix} \operatorname{Ideale}(R) & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{E-Div}(R) \\ \downarrow & & \downarrow \\ ? & \stackrel{\sim}{\longrightarrow} & \operatorname{Div}(R) \end{matrix} \,
Da wir einen Divisor D stets schreiben können als D = E − F mit effektiven Divisoren E und F, liegt die Vermutung nahe, nach etwas wie dem Inversen (bzgl. der Multiplikation) eines Ideals zu suchen.

Definition (Gebrochenes Ideal)  

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann nennt man einen endlich erzeugten R- Untermodul \mathfrak f des R- Moduls Q(R) ein gebrochenes Ideal.



Lemma  

Sei R ein ZahlbereichDefinition mit Quotientenkörper Q(R) und sei \mathfrak f \subseteq Q(R) eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. \mathfrak f ist ein gebrochenes Ideal.
  2. Es gibt ein Ideal \mathfrak a und ein Element r\in R, r \neq 0, so dass \mathfrak f = {\mathfrak a}/r = \{ \frac{a}{r}:\, a \in {\mathfrak a} \} gilt.

Beweis  

Sei zunächst \mathfrak f ein gebrochenes IdealDefinition. Dann ist

{\mathfrak f} =R(\frac{a_1}{r_1}, \ldots ,\frac{a_n}{r_n}) \, .
Nach Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass r=r_1= \ldots =r_n ist. Dann hat man mit dem Ideal \mathfrak a = (a_1, \ldots, a_n) eine Beschreibung der gewünschten Art.

Ist umgekehrt {\mathfrak f} = \frac{ {\mathfrak a} }{r}, so ist dies natürlich ein endlich erzeugter R-Untermodul von Q(R).

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Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle.


Definition (Gebrochenes Hauptideal)  

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann nennt man ein gebrochenes Ideal der Form \mathfrak f =Rq mit q \in Q(R) ein gebrochenes Hauptideal.

Aus Lemma 24.4 ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist.


Definition (Produkt von gebrochenen Idealen)  

Sei R ein Zahlbereich mit Quotientenkörper Q(R). Dann definiert man für gebrochene Ideale \mathfrak f und \mathfrak g das Produkt \mathfrak f \cdot \mathfrak g als den von allen Produkten erzeugten R-Untermodul von Q(R), also

\mathfrak f \cdot \mathfrak g = R \langle g f : \, f \in \mathfrak f,\, g \in \mathfrak g \rangle \, ,
wobei das Produkt in Q(R) zu nehmen ist.

Wird das gebrochene Ideal \mathfrak f als R-Modul von f_1, \ldots , f_n erzeugt und wird das gebrochene Ideal \mathfrak g von g_1, \ldots , g_m erzeugt, so wird das Produkt \mathfrak f \mathfrak g von den Produkten figj, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m, erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal. Man kann direkt zeigen, oder aber den Bijektionssatz weiter unten benutzen, dass die Menge der von null verschiedenen gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und die von null verschiedenen gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe.

Ein gebrochenes Ideal \mathfrak f ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: für ein maximales Ideal (also für ein von null verschiedenes Primideal) \mathfrak p ist {\mathfrak f} R_{\mathfrak p} = {\mathfrak f}_{\mathfrak p} (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter R_{\mathfrak p}-Modul (\neq 0), der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu R_{\mathfrak p}. Siehe Aufgabe 24.9.



Definition (Gebrochenes Ideal zu einem Divisor)  

Sei R ein Zahlbereich und

D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \,
ein Divisor (wobei {\mathfrak p} durch die Menge der Primideale \neq 0 läuft). Dann nennt man
\{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq D \} \,
das gebrochene Ideal zum Divisor D. Es wird mit \operatorname{Id} (D) bezeichnet.

Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erhält, und dass diese Definition mit der früheren Definition 23.10 verträglich ist.


Lemma  

Sei R ein ZahlbereichDefinition und D = \sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} ein Divisor. Dann ist die Menge \{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq D \} ein gebrochenes Ideal. Ist D ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition Definition 23.10 zugeordnet wird.

Beweis  

Sei {\mathfrak f} = \{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq D \}. Gemäß der Konvention, dass \operatorname{div} (0)= \infty zu interpretieren ist, ist 0 \in {\mathfrak f}. Für zwei Elemente f_1 , f_2 \in Q(R) mit \operatorname{div} (f_1), \operatorname{div} (f_2) \geq D gilt

\operatorname{div} (f_1 +f_2) \geq \min\{\operatorname{div} (f_1) , \operatorname{div} (f_2)\} \geq D \,
und
\operatorname{div} (rf)=\operatorname{div} (r)+ \operatorname{div} (f) \geq D \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, r \in R \, ,
da ja \operatorname{div} (r) effektiv ist. Also liegt in der Tat ein R-Modul vor.

Sei nun E ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass

\{ f \in Q(R): \operatorname{div} (f) \geq E \} = \{ f \in R: \operatorname{div} (f) \geq E \} \,
ist, wobei die Inklusion \supseteq klar ist. Sei also f \in Q(R) und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor \operatorname{div} (f) sei \geq E. Dann ist \operatorname{div} (f) insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet \operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f) \geq 0 für jedes von null verschiedene Primideal \mathfrak p und dies bedeutet f \in R_{\mathfrak p}. Das heißt, dass f zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von R gehört. Dies bedeutet aber nach Bemerkung 22.19, dass f \in R ist.
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Definition (Divisor zu einem gebrochenen Ideal)  

Sei R ein Zahlbereich und {\mathfrak f} \neq 0 ein von null verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor
\operatorname{div}({\mathfrak f}) = \sum_{\mathfrak p} m_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} \, \,
mit
m_{\mathfrak p} = \operatorname{min} \{\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(f) : \, f \in {\mathfrak f},\, f \neq 0 \} \,
den Divisor zum gebrochenen Ideal {\mathfrak f}.

Da das gebrochene Ideal \mathfrak f nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur über eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugehörige Divisor wohldefiniert. Für ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der alten überein.



Lemma

Sei R ein Zahlbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Sei \mathfrak f ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung {\mathfrak f}=\frac{ {\mathfrak a} }{h} mit h \in R und einem Ideal {\mathfrak a} \subseteq R. Dann ist
    \operatorname{div}({\mathfrak f}) = \operatorname{div}(a) - \operatorname{div}(h) \, .
  2. Zu einem Divisor D gibt es ein h\in R derart, dass D+ \operatorname{div}(h) effektiv ist.
  3. Zu einem Divisor D mit E= D+ \operatorname{div}(h) effektiv ist
    \operatorname{Id}(D) = \frac{ \operatorname{Id}(E)}{h} \, .

Beweis


Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes überlassen wir dem Leser, siehe Aufgabe 24.11.


Satz  

Sei R ein ZahlbereichDefinition. Dann sind die Zuordnungen

{\mathfrak f} \longmapsto \operatorname{div}({\mathfrak f}) \, \, \, \mbox{ und } \, \, \, D \longmapsto \operatorname{Id}(D) \,
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von null verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.

Beweis  

Wir haben zu zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen die Identität ergeben. Dies kann man mittels Lemma 24.10 auf den effektiven Fall (Satz 23.11) zurückführen.

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