Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 27

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Wir beweisen nun die Endlichkeit der Klassenzahl für die Ganzheitsringe in quadratischen Zahlkörpern. Es sei bemerkt, dass diese Aussage für alle Zahlbereiche gilt, nicht nur für die quadratischen, wir beschränken uns aber auf diese. Wir folgen hier weitgehend dem Skript von Bruns (siehe Literaturliste).

Lemma

Sei $R$ ein quadratischer ZahlbereichDefinition. Dann gibt es nur endlich viele Ideale $\mathfrak a$ in $R$ , deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale $\mathfrak a$ in $R$ mit $N({\mathfrak a})=n$ gibt. Sei also ${\mathfrak a}$ ein solches Ideal. Dann ist $n \in {\mathfrak a}$ nach Korollar 21.4 und damit entspricht ${\mathfrak a}$ einem Ideal aus $R / n$ . Dieser Ring ist aber nach Lemma 18.12 endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.

$\Box$

Bemerkung

Sei $D$ quadratfrei und $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ . Wir wollen ein von null verschiedenes Ideal ${\mathfrak a}$ aus $A D$ als ein Gitter $\Gamma_{\mathfrak a}$ vom Rang zwei in ${\mathbb R}^2$ auffassen. Bei $D < 0$ , also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die Einbettung

${\mathfrak a} \subseteq A_D \subset L ={\mathbb Q}[\sqrt{D}] \subset {\mathbb C} \cong {\mathbb R}^2 \, .$

Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element $q_1 + q_2 \sqrt{D}$ entspricht in der reellen Ebene das Element $(q_1,q_2 \sqrt{-D}) = (q_1,q_2 \sqrt{ \mid\! D\!\mid })$ .

Bei $D > 0$ , also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung

$L = {\mathbb Q}[\sqrt{D}] \longrightarrow {\mathbb R}^2 , \, q_1 +q_2 \sqrt{D} \longmapsto (q_1,q_2 \sqrt{D}) \, .$

Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel $\sqrt{D}$ mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine ${\mathbb Q}$ -lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein Ringhomomorphismus vorliegt.

Das Ideal $\mathfrak a$ sei nun (bei positivem oder negativem $D$ ) durch die $\Z$ -Basis $(a, b)$ erzeugt, mit $(a)= \Z \cap {\mathfrak a}$ und $b = α + β u$ wie in Satz 21.1 beschrieben. Hierbei sei $1, u$ die übliche $\Z$ -Basis von $A D$ , also $u= \sqrt{D}$ bzw. $u= \frac{1+ \sqrt{D} }{2}$ . Das Basiselement $u$ wird auf $(0,\sqrt{ \mid\! D\!\mid })$ bzw. auf $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{ \mid\! D\!\mid } }{2})$ geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter $\Gamma_{\mathfrak a}$ (in $\R^2$ ) aufgespannt durch

$(a,0)\text{ und }(\alpha, \beta \sqrt{ \mid\! D\!\mid })\text{ bei } D = 2,3 \mod 4 \,$

und

$(a,0) \text{ und } (\alpha + \frac{\beta}{2}, \beta \frac{\sqrt{ \mid\! D\!\mid } }{2})\text{ bei }D =1 \mod 4 \, .$

Wir setzen zunächst die Norm des Ideals mit dem Flächeninhalt des Gitters in Verbindung.

Lemma

Sei $D$ eine quadratfreie ZahlDefinition, sei $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich und sei $\varphi: A_D \rightarrow {\mathbb R}^2$ die in Bemerkung 27.2 beschriebene Einbettung. Es sei ${\mathfrak a} \neq 0$ ein Ideal und $\Gamma_{\mathfrak a} \subset {\mathbb R}^2$ das zugehörige Gitter. Dann ist der Flächeninhalt der Grundmasche des Gitters gleich

$\mu (\Gamma_{\mathfrak a} ) = \frac{1}{2} \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}}} N({\mathfrak a}) \, .$

Beweis

Das Ideal $\mathfrak a$ sei erzeugt durch die $\Z$ -Basis $(a, b)$ mit $(a)= \Z \cap {\mathfrak a}$ und $b = α + β u$ wie in Satz 21.1 beschrieben. In Bemerkung 27.2 wurde die zugehörige Gitterbasis ausgerechnet. Der Flächeninhalt eines Gitters wird gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei $D=2,3 \mod 4$

$\mu (\Gamma_{\mathfrak a} ) = {{|}}\det \begin{pmatrix} a & \alpha \\ 0 & \beta \sqrt{ {{|D|} }} \end{pmatrix}{{|}} = a \beta \sqrt{ {{|}}D{{|}} } = a \beta \frac{ \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}} } }{2} = \frac{1}{2} N({\mathfrak a}) \sqrt{ {{|\triangle |} }} \, ,$

wobei wir Korollar 21.4 und die Diskriminantengleichung (Lemma 20.10) $\triangle = 4 D$ benutzt haben.

Bei $D=1 \mod 4$ ist

$\mu (\Gamma_{\mathfrak a} ) = {{|}}\det \begin{pmatrix} a & \alpha + \frac{\beta}{2} \\ 0 & \frac{ \beta \sqrt{ {{|D|}} } }{2} \end{pmatrix} {{|}} = \frac {a \beta \sqrt{ {{|D|}} } }{2} = \frac{1}{2} N({\mathfrak a}) \sqrt{ {{|\triangle|}} } \,$

aus den gleichen Gründen.

$\Box$

Lemma

Sei $D$ eine quadratfreie ZahlDefinition, sei $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ . Es sei ${\mathfrak a} \neq 0$ ein Ideal. Dann gibt es ein $f \in {\mathfrak a}$ , $f \neq 0$ , mit der Eigenschaft

${{|N(f)|}} \leq \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}} } N({\mathfrak a}) & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}} } N({\mathfrak a}) & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

Beweis

Wir wollen den Gitterpunktsatz von Minkowski (Satz 26.7) auf das Gitter $\Gamma = \Gamma_{\mathfrak a}$ anwenden, das in Bemerkung 27.2 konstruiert wurde. Nach Lemma 27.3 hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt $\frac{\sqrt{ {{|\triangle|}} }N({\mathfrak a})}{2}$ .

Sei $D < 0$ . Als Menge $K$ betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius $\sqrt{ \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle |}} } N({\mathfrak a}) }$ . Der Kreis ist kompaktDefinition, zentralsymmetrischDefinition und konvex, und sein Flächeninhalt ist bekanntlich $2\sqrt{ {{|\triangle|}} }N({\mathfrak a})$ . Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters. Also gibt es einen von null verschiedenen Gitterpunkt $x \in \Gamma \cap K$ , und $x= \varphi(f)$ mit $f \in {\mathfrak a}$ . Die Norm von $f$ (also das Quadrat des komplexen Betrags) ist dann $N(f) \leq \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle |}} } N({\mathfrak a})$ , wie behauptet.

Sei nun $D > 0$ . Für einen Punkt $x=(x_1,x_2)=(y_1,y_2\sqrt{D})$ (mit $y_1,y_2 \in {\mathbb Q}$ ) besitzt das Element $y = \varphi^{-1}(x)$ (aus $Q (A D)$ ) die Norm

$N(y)= y_1^2 - y_2^2 D = (x_1-x_2)(x_1+x_2) \, .$

Die Bedingung

| N (y) | = | (x 1 - x 2)(x 1 + x 2) | = c

beschreibt also in jedem Quadranten eine gedrehte Hyperbel. Diese Hyperbeln schließen das (konvexe, kompakte, zentralsymmetrische) Quadrat mit den Eckpunkten $(\pm \sqrt{c},\pm \sqrt{c})$ ein. Wir setzen $c =\frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} }N({\mathfrak a})$ . Dann hat das Quadrat

K

mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt $2 \sqrt{ {{|\triangle|}} }N({\mathfrak a})$ und enthält nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski (Satz 26.7) einen von null verschiedenen Gitterpunkt $x \in \Gamma_{\mathfrak a} \cap K$ . Dieser entspricht einem Element $f \in {\mathfrak a}$ , $f \neq 0$ , und

${{|N(f)|}} = x_1^2-x_2^2 \leq x_1^2 \leq c = \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} }N({\mathfrak a}) \, .$

$\Box$

Lemma

Sei $D$ eine quadratfreie ZahlDefinition und sei $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ . Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal ${\mathfrak a} \subseteq A_D$ , das die Normschranke

$N({\mathfrak a}) \leq \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

erfüllt.

Beweis

Sei $c$ eine Idealklasse. Die inverse Klasse $c - 1$ wird repräsentiert durch ein Ideal ${\mathfrak b} \subseteq R$ (Lemma 24.4). Nach Lemma 27.4 enthält $\mathfrak b$ ein Element $f$ , $f \neq 0$ , mit

$\mid\! N(f)\!\mid \leq \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle|}} } N({\mathfrak b}) & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} } N({\mathfrak b}) & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

Wir setzen ${\mathfrak a} = (f) {\mathfrak b}^{-1}$ . Dies ist ein Ideal, da ja ${\mathfrak b}^{-1}$ alle Elemente aus $\mathfrak b$ nach

R

multipliziert (Aufgabe 25.1). Nach Korollar 21.8 und nach Satz 21.6 ist

$N({\mathfrak a} ) N({\mathfrak b} ) = N({\mathfrak a} {\mathfrak b}) = N((f))= {{|N(f)|}} \, .$

Daher ist

$N( {\mathfrak a}) =N (f { \mathfrak b}^{-1} )= \frac{ {{|N(f)|}} }{ N({\mathfrak b})} \leq \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle|}} } & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} } & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

$\Box$

Satz (Endlichkeit der Klassenzahl)

Sei $R = A D$ ein quadratischer ZahlbereichDefinition. Dann ist die Klassengruppe von $R$ eine endliche Gruppe.

Beweis

Nach Lemma 27.5 wird jede Klasse in der Klassengruppe repräsentiert durch ein Ideal mit einer Norm, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Lemma 27.1 gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.

$\Box$

Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe.

Definition (Klassenzahl)

Sei $A D$ ein quadratischer Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $A D$ die Klassenzahl von $A D$ .

Korollar

Sei $R = A D$ ein quadratischer ZahlbereichDefinition und sei $\mathfrak a$ ein Ideal in $R$ . Dann gibt es ein $n \geq 1$ derart, dass ${\mathfrak a}^n$ ein Hauptideal ist.

Beweis

Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also $\mathfrak a$ von null verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[{\mathfrak a}]$ besitzt aufgrund von Satz 27.6 in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein $n \geq 1$

$[{\mathfrak a}]^n = [{\mathfrak a}^n]= 0 \,$

ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak a}^n$ ein Hauptideal ist.

$\Box$

Wir formulieren noch explizit die beiden folgenden Kriterien für Faktorialität.

Korollar

Sei $D$ eine quadratfreie ZahlDefinition und sei $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ . Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal ${\mathfrak p}$ in $A D$ mit der Normbedingung

$N({\mathfrak p}) \leq \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

ein Hauptideal sei. Dann ist

A D

faktoriell.

Beweis

Es sei $\mathfrak a$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach dem Satz von Dedekind 23.6 ist $\mathfrak a = {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k$ mit Primidealen ${\mathfrak p}_i$ , und wegen der Multiplikativität der Norm (Korollar 21.8) sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch $\mathfrak a$ ein Hauptideal. Da nach Lemma 27.5 jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Satz 25.2 der Ring $A D$ faktoriell.

$\Box$

Korollar

Sei $D$ eine quadratfreie ZahlDefinition und sei $A D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante $\triangle$ . Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$ mit

$p \leq \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} \,$

in

A D

eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist

A D

faktoriell.

Beweis

Es sei $\mathfrak p$ ein Primideal derart, dass $N({\mathfrak p})$ unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei $\Z p = (\mathfrak p) \cap \Z$ mit einer Primzahl $p$ . Nach Satz 20.13 gibt es die drei Möglichkeiten

$p={\mathfrak p}\mbox{ oder }p={\mathfrak p}^2\mbox{ oder }p={\mathfrak p}\overline{\mathfrak p} \, .$

Die Norm von $\mathfrak p$ ist

p

oder

p 2

, so dass auch

p

unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für

p

besteht. Daraus folgt aber, dass $\mathfrak p$ ein Hauptideal ist. Aus Korollar 27.9 folgt die Behauptung.

$\Box$

Beispiel

Sei $R=\Z[\sqrt{-5}]$ , also $D = - 5$ und $\triangle=-20$ . Jede Idealklasse enthält ein Ideal $\mathfrak a$ der Norm $N({\mathfrak a}) \leq \frac{2 \sqrt{20} }{\pi}$ , so dass nur Ideale mit Norm $2$ zu betrachten sind. Ein Ideal $\mathfrak a$ mit $N({\mathfrak a})=2$ ist ein Primideal $\mathfrak p$ mit ${\mathfrak p} \cap \Z=(2)$ . Daher ist

$\mathfrak p =(2,1+ \sqrt{-5}) = (2,1- \sqrt{-5}) \,$

die einzige Möglichkeit. Insbesondere ist ${\mathfrak p}^2 = (2)$ und $\mathfrak p$ ist kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu $\Z/(2)$ , wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert werden und das andere Element durch $\mathfrak p$ .

Beispiel

Sei $R = A - 19$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 19$ , also $A_{-19} =\Z[\frac{1+ \sqrt{-19} }{2}]$ bzw.

$A_{-19} \cong \Z[Y]/(Y^2-Y+5) \, .$

Wir wissen aufgrund von Satz 25.4, dass

R

nicht euklidisch ist. Dennoch ist

R

faktoriell und damit (Satz 25.2) ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Korollar 27.10, d.h. wir haben für alle Primzahlen $p \leq \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi}$ zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in

R

besitzen. Diese Abschätzung wird nur von

p = 2

erfüllt. Für

p = 2

ist der Restklassenring

$R/(2) \cong \Z/(2)[Y]/(Y^2+Y+1) \,$

ein Körper, so dass

2

träge in

R

ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.

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Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 27

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Inhaltsverzeichnis

Lemma

Beweis

Bemerkung

Lemma

Beweis

Lemma

Beweis

Lemma

Beweis

Satz (Endlichkeit der Klassenzahl)

Beweis

Definition (Klassenzahl)

Korollar

Beweis

Korollar

Beweis

Korollar

Beweis

Beispiel

Beispiel

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