Überlagerung/Liftungen/Übersicht/Textabschnitt

Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

nennt man einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit

${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,$

eine Liftung von ${}\gamma$.

Satz

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in Y$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$.

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow Y$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

Beweis

Zu jedem Punkt ${}x\in \gamma (I)$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}$ derart, dass ${}p$ oberhalb von ${}U_{x}$ trivialisiert, d.h. ${}p^{-1}(U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu ${}U_{x}$ über ${}p$ homöomorphen offenen Teilmengen von ${}Y$. Aufgrund der Kompaktheit von ${}\gamma (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit ${}\gamma (0)\in U_{1}$, mit ${}U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset$ für alle ${}i$ (da ${}\gamma (I)$ zusammenhängend ist) und mit ${}\gamma (1)\in U_{n}$. Es sei ${}x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten ${}t_{i}$. Es sei ${}V_{1}$ diejenige zu ${}U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von ${}Y$, die ${}z$ enthält. Dann gibt es für den auf ${}[0,t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung ${}p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}$. Dieser Weg hat für ${}t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in ${}Y$, sagen wir

${}z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.$

Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge ${}V_{2}\subseteq Y$ homöomorph zu ${}U_{2}$ und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten ${}{\tilde {\gamma }}$ nach ${}[t_{1},t_{2}]$. So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.

$\Box$