Überlagerung/Schnitte/Verbundenheit/Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ lokal wegzusammenhängend. Es seien ${}x_{1},x_{2}\in X$ Punkte mit Urbildpunkten ${}y_{1},y_{2}\in Y$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die Garbe der stetigen Schnitte auf ${}X$ mit Werten in ${}Y$ und seien ${}s_{1}$ bzw. ${}s_{2}$ die Keime von ${}{\mathcal {S}}$ in ${}x_{1}$ bzw. ${}x_{2}$, die den Werten ${}y_{1}$ bzw. ${}y_{2}$ entsprechen (vergleiche Aufgabe).

1. Zeige, dass ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ genau dann verbunden sind, wenn es eine zusammenhängende offene Teilmenge ${}x_{1},x_{2}\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow Y$ mit ${}s(x_{1})=y_{1}$ und ${}s(x_{2})=y_{2}$ gibt.
2. Zeige, dass ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ genau dann schrittweise verbunden sind, wenn es einen stetigen Weg

   $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y$

   mit ${}\gamma (0)=y_{1}$ und ${}\gamma (1)=y_{2}$ gibt.

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