3x3-Matrix/Basis/Jordan-Matrix/Aufgabe/Lösung

a) Wegen

$ac\ne 0$

sind die drei Vektoren in Stufenform mit von $0$ verschiedenen Diagonalelementen, deshalb liegt eine Basis vor.

b) Es ist

$\left(\begin{array}{ccc}d& a& b\\ 0& d& c\\ 0& 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ac\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}dac\\ 0\\ 0\end{array}\right)=d\left(\begin{array}{c}ac\\ 0\\ 0\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{ccc}d& a& b\\ 0& d& c\\ 0& 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}db+ac\\ dc\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ac\\ 0\\ 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ 0\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{ccc}d& a& b\\ 0& d& c\\ 0& 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ 0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$

Bezüglich dieser Basis ist die beschreibende Matrix gleich

$\left(\begin{array}{ccc}d& 1& 0\\ 0& d& 1\\ 0& 0& d\end{array}\right).$

Zur gelösten Aufgabe