3x3-Matrix/Blockdreiecksmatrix/Eigentheorie/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}7&6&-4\\3&-3&5\\0&0&2\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-7&-6&4\\-3&X+3&-5\\0&0&X-2\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-7\right)}{\left(X+3\right)}-18\right)}\cdot {\left(X-2\right)}\\&={\left(X^{2}-4X-39\right)}\cdot {\left(X-2\right)}\\&=X^{3}-6X^{2}-31X+78.\end{aligned}}

b) Die GLeichung

{}X^{2}-4X-39=0\,

besitzt die reellen Lösungen

{}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {16+156}}+4}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {172}}+4}{2}}=\pm {\sqrt {43}}+2\,.

Die Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms ist also

{}\chi _{M}={\left(X-2-{\sqrt {43}}\right)}{\left(X-2+{\sqrt {43}}\right)}{\left(X-2\right)}\,.

c) Der Eigenraum zu ${}2$ ist der Kern von

{\begin{pmatrix}-5&-6&4\\-3&5&-5\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Dessen Berechnung führt auf das lineare Gleichungssystem

{}-5x-6y+4z=0\,,

{}-3x+5y-5z=0\,.

Die Kombination ${}5I+4II$ ergibt die Gleichung

{}-37x-10y=0\,.

Wir setzen

{}x=10\,

und

{}y=-37\,,

was auf

{}z={\frac {1}{4}}{\left(50-222\right)}=-43\,

führt. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}2$ ist also ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}10\\-37\\-43\end{pmatrix}}$ .

Der Eigenraum zu ${}2+{\sqrt {43}}$ ist der Kern von

{\begin{pmatrix}-5+{\sqrt {43}}&-6&4\\-3&5+{\sqrt {43}}&-5\\0&0&{\sqrt {43}}\end{pmatrix}}.

Dieser ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5+{\sqrt {43}}\\3\\0\end{pmatrix}}$ .

Der Eigenraum zu ${}2-{\sqrt {43}}$ ist der Kern von

{\begin{pmatrix}-5-{\sqrt {43}}&-6&4\\-3&5-{\sqrt {43}}&-5\\0&0&-{\sqrt {43}}\end{pmatrix}}.

Dieser ist

{}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5-{\sqrt {43}}\\3\\0\end{pmatrix}}

.