3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir orientieren uns an Fakt. Es ist

M^{2} = (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und

M^{3} = 0 .

Somit ist

V_{1} = kern M = ⟨ e_{1} ⟩, V_{2} = kern M^{2} = ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ und V_{3} = K^{3} .

Es ist

V_{3} = V_{2} \oplus ⟨ e_{3} ⟩,

sodass wir

U_{3} = ⟨ e_{3} ⟩

wählen können. Es ist

M e_{3} = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) \in V_{2} .

Somit ist

V_{2} = V_{1} \oplus U_{2}

mit

U_{2} = ⟨ (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) ⟩ .

Schließlich ist

M^{2} e_{3} = M (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) .

Daher ist

(\begin{matrix} 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

eine Basis wie gewünscht. Die neue Matrix besitzt die jordansche Normalform

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .