4x4-Matrix/Blockmatrix/C/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&-3&0&0\\-4&X-1&0&0\\0&0&X-5&2\\0&0&-1&X-3\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-2\right)}{\left(X-1\right)}-12\right)}\cdot {\left({\left(X-5\right)}{\left(X-3\right)}+2\right)}\\&={\left(X^{2}-3X-10\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\\&=X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170.\end{aligned}}$

2. Wir bestimmen die Nullstellen der beiden quadratischen Polynome. Die Gleichung

   ${}X^{2}-3X-10=0\,$

   führt auf

   ${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {9+40}}+3}{2}}={\frac {\pm 7+3}{2}}\,,$

   also

   ${}x_{1}=5\,$

   und

   ${}x_{2}=-2\,.$

   Die Gleichung

   ${}X^{2}-8X-17=0\,$

   führt auf

   ${}x_{3,4}={\frac {\pm {\sqrt {64-68}}+8}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-4}}+8}{2}}={\frac {\pm 2{\mathrm {i} }+8}{2}}=4\pm {\mathrm {i} }\,.$

   Die Faktorzerlegung ist also

   ${}\chi _{M}={\left(X-5\right)}{\left(X+2\right)}{\left(X-4-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X-4+{\mathrm {i} }\right)}\,.$

3. Die Eigenwerte sind ${}5,-2,4+{\mathrm {i} }$ und ${}4-{\mathrm {i} }$. Der Eigenraum zu ${}5$ ist der Kern von

   ${\begin{pmatrix}3&-3&0&0\\-4&4&0&0\\0&0&0&2\\0&0&-1&2\end{pmatrix}},$

   das ist

   ${\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}.$

   Der Eigenraum zu ${}-2$ ist der Kern von

   ${\begin{pmatrix}-4&-3&0&0\\-4&-3&0&0\\0&0&-7&2\\0&0&-1&-5\end{pmatrix}},$

   das ist

   ${\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}.$

   Der Eigenraum zu ${}4+{\mathrm {i} }$ ist der Kern von

   ${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&-3&0&0\\-4&3+{\mathrm {i} }&0&0\\0&0&-1+{\mathrm {i} }&2\\0&0&-1&1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},$

   das ist

   ${\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}0\\0\\2\\1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

   Der Eigenraum zu ${}4-{\mathrm {i} }$ ist der Kern von

   ${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&-3&0&0\\-4&3-{\mathrm {i} }&0&0\\0&0&-1-{\mathrm {i} }&2\\0&0&-1&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},$

   das ist

   ${\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}0\\0\\2\\1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe