4x4-Matrix/Blockmatrix/Cayley-Hamilton/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X-2&-3&0&0\\-4&X-1&0&0\\0&0&X-5&2\\0&0&-1&X-3\end{pmatrix}}\\&={\left({\left(X-2\right)}{\left(X-1\right)}-12\right)}\cdot {\left({\left(X-5\right)}{\left(X-3\right)}+2\right)}\\&={\left(X^{2}-3X-10\right)}\cdot {\left(X^{2}-8X+17\right)}\\&=X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170.\end{aligned}}$

b) Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}\,,$

${}M^{3}={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}68&57&0&0\\76&49&0&0\\0&0&99&-94\\0&0&47&5\end{pmatrix}}\,,$

${}M^{4}={\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}364&261&0&0\\348&277&0&0\\0&0&401&-480\\0&0&240&-79\end{pmatrix}}\,.$

c) Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\chi _{M}(M)\\&={\left(X^{4}-11X^{3}+31X^{2}+29X-170\right)}(M)\\&=M^{4}-11M^{3}+31M^{2}+29M-170E_{4}\\&={\begin{pmatrix}364&261&0&0\\348&277&0&0\\0&0&401&-480\\0&0&240&-79\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}68&57&0&0\\76&49&0&0\\0&0&99&-94\\0&0&47&5\end{pmatrix}}+31{\begin{pmatrix}16&9&0&0\\12&13&0&0\\0&0&23&-16\\0&0&8&7\end{pmatrix}}+29{\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}-170{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe